Folge angeben die gegen x kovergiert

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hummeldeluxe Auf diesen Beitrag antworten »
Folge angeben die gegen x kovergiert
Moin!

Folgende Aufgabe ist gegeben:

>> Geben Sie eine Folge an, die gegen die Zahl 4 konvergiert. <<

Wäre nett wenn ihr mir da auf die Sprünge helfen könntet.
phil Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +... konvergiert gegen 2
2 * (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... ) konvergiert also gegen 4

und das ist 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
fALK dELUXE Auf diesen Beitrag antworten »

^^ das is aber keine folge.

ich glaub er meint sowas wie:
an = 1/n + 4
oder

an = 4 - 1/n

konvergiert auch gegen 4, weil 1/n eine Nullfolge ist.
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fALK dELUXE
^^ das is aber keine folge.

ich glaub er meint sowas wie:
an = 1/n + 4
oder

an = 4 - 1/n

konvergiert auch gegen 4, weil 1/n eine Nullfolge ist.

das ist aber auch falsch, du meinst doch den limes, oder soll das rekurion sein? wenns der limes ist, der _strebt_ gegen irgendwas, und das wäre ja wohl etwas simpel, oder? ich glaube schon dass die 1. lösung stimmt.
hummeldeluxe Auf diesen Beitrag antworten »

jawohl ich meine den limes

an = 1/n + 4
oder

an = 4 - 1/n

funktioniert super, danke! Gott
fALK dELUXE Auf diesen Beitrag antworten »

@ BlackJack:
also ich kann nur mit meinem Abi-Wissen argumentieren und ich hab eben das Bildungsgesetz für eine Folge angegeben, die den Grenzwert 4 besitzt. Der Limes ist schon richtig, also lim n -> inf. von ... aber das gibt man bei der eindeutigen Angabe einer Folge nicht an.
 
 
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definitionen der Begriffe sind folgendermaßen:
Eine Folge x(n) heißt konvergent mit dem Grenzwert c genau dann wenn es für jedes e>0 (soll ein Epsilon sein) eine Schranke N(e) gibt, sodass für alle n>N(e) gilt: |x(n)-c|<e.

Man sagt auch:
Die Folge x(n) konvergiert gegen c.
Die Folge x(n) strebt gegen c.
Der Grenzwert der Folge für x gegen unendlich ist c.

Schreibweisen:
lim x(n)=c
x(n) -> c für n -> unendlich

Das erste Beispiel hat eine etwas andere Bedeutung.
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...
Die "unendliche" Reihe ist mathematisch gesehen die Folge der Partialsummen s(1), s(2), ...
s(1)=1
s(2)=1+1/2
...
s(n)=1+...+1/n
Die "Summe der unendlichen Reihe" ist nichts anderes als der Grenzwert der Folge der Partialsummen lim s(n). Da gilt lim s(n)=2, schreibt man
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +... = 2

Soviel, zur Klarstellung der Definitionen
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Einfachste Folge, die gegen 4 konvergiert (ohne "einfach" zu definieren Augenzwinkern )

an=4 für alle natürlichen n

Also die Folge 4, 4, 4, 4, 4,... 8)

Gruß vom Ben
jama Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Einfachste Folge, die gegen 4 konvergiert (ohne "einfach" zu definieren Augenzwinkern )

an=4 für alle natürlichen n

Also die Folge 4, 4, 4, 4, 4,... 8)

Gruß vom Ben


wenn eine folge gegen 4 konvergieren soll, bedeutet das doch, dass 4 der grenzwert ist und damit die zahl 4 in der folge nicht auftreten darf:

Unter Konvergenz versteht man in der Mathematik die Existenz eines Grenzwertes.

gruß,

jama
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folge 4, 4, 4, ... konvergiert sehr wohl gegen 4. Man benützt die Definition des Grenzwertes:
c ist dann Grenzwert, von x(n), wenn für alle e>0 gilt: fast alle x(n) liegen in der Epsilon-Umgebung von c. Fast alle bedeutet definitionsgemäß "alle bis auf endlich viele".

Betrachten wir eine Epsilon-Umgebung um 4: ]4-e; 4+e[
Alle Folgenglieder liegen in der Epsilon-Umgebung, damit auch fast alle und da dies für alle e>0 gilt, ist 4 ein Grenzwert der Folge 4, 4, 4, ...
johko Auf diesen Beitrag antworten »

@jama:
Bei einer Konvergenzbetrachtung interessieren noch nicht einmal "kleine" n (z.B. < einer festen beliebigen Zahl No, und wenn das 1000000000000000 sein sollte). Da können die zugehörigen Werte so viel ausserhalb der e-Umgebung liegen und sie beliebig kreuzen wie sie wollen.
Augenzwinkern
johko
jama Auf diesen Beitrag antworten »

argh, stimmt @johko und martins1 :P
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