metrischer raum |
| 19.10.2004, 19:11 | LeereMenge | Auf diesen Beitrag antworten » |
| metrischer raum i) d(x,y) >=0 ii) d(x,y)=d(y,x) anhand der dreiecksungleichung und der definitheit? fuer i) braeuchte ich doch die ii), oder? |
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| 19.10.2004, 19:36 | Mathe-Student | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo und willkommen. Komische Aufgabe hast du da, da dies eigentlich genau die Definition einer Metrik ist (mit 3ecks-Ungleichung). Desweiteren ist i) eben die Definitheit. Wie und ob man die Symmetrie also ii) daraus zeigen kann, weiss ich leider nicht. Glaube aber nicht, dass es geht, sonst bräuchte man es ja nicht zur Definition einer Metrik, nicht wahr. |
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| 19.10.2004, 19:38 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich stimme zu. Man kann diese Axiome nicht abstrakt zeigen. Wenn allerdings eine konkrete Funktion d(x,y) vorgegeben ist, kann man versuchen, für diese die Axiome einer Metrix nachzuweisen. Vielleicht ist ja das hier gemeint. Dazu müßte man aber den genauen Aufgabentext haben. |
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| 19.10.2004, 19:43 | Jeff Etage | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das kommt drauf an, wie bei dir ein metrischer Raum definiert ist. Bitte schreib wörtlich deine Definition hierher, dann können wir dir helfen. Welche Dreiecksungleichung genau meinst du (wichtig ist z.B. der Unterschied zwischen d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y) (*) und d(x,y) <= d(x,z) + d(y,z) (**) da anscheinend die Symmetrie erst gezeigt werden soll), und was genau ist mit Definitheit gemeint? Aus (*) und der positiven Definitheit lässt sich mMn die Symmetrie nicht beweisen, denn ich halte X = {a,b} d(a,a) = d(b,b) = 0, d(a,b) = 2, d(b,a) = 1 für ein Gegenbeispiel. Aber ich kann mich auch irren. |
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| 19.10.2004, 22:04 | LeereMenge | Auf diesen Beitrag antworten » |
meine map besteht aus einem paar (X,d) so dass d:XxX-->R u.d.N. d(x,y)=O <==> x=y (dachte das sei die Definitheit, also strikt) d(x,y)+d(x,z)>=d(y,z) daraus sollten sich dann eigentlich irgendwie die anderen eigenschaften herleiten lassen. also i) d(x,y)>=0 ii) d(d(x,y)=d(y,x) , iii) sowie auch noch die zweite Form der T.I. d(x,y)+d(y,z)>=d(x,z) Und irgendwie find ich da keinen weg. dachte eigentlich i) sei Konvention. aber danke schon mal. |
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| 20.10.2004, 03:03 | carsten | Auf diesen Beitrag antworten » |
was Du gegeben hast sind 2 Eigenschaften deiner Funktion d und wie sich herausstellt kann man aus denen alle 3 Axiome fuer eine Metrik ableiten. (Da das auch andersrum geht, hat man damit eine aequivalente Definition einer Metrik gefunden.) Wichtig ist dabei - wie Jeff schon sagte - die Dreiecksungleichung. Deine Dreiecksungleichung und (**) fuehren beide auf die 3 Metrikeingenschaften, mit (*) sollte das nicht gehen! also du hast a) d(x,y)=0 <==> x=y und b) d(x,y)+d(x,z)>=d(y,z) gegeben i) zeigt man zum Beispiel so: setze in b) y=z : d(x,y)+d(x,y)>=d(y,y) mit a) erhaelst du i) ii) zeigt man aehnlich durch gleichsetzen 2er Punkte und durch "umbenennen" iii) ist dann mit ii) ganz einfach Gruesse Carsten |
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| 21.10.2004, 19:03 | LeereMenge | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke euch. |
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