Grenzwertberechnung - Seite 3

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18.03.2007, 01:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal hoch. Einfacher so?
18.03.2007, 01:10	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich hoch 4 rechnen muss, muss ich da beim windows TR die Taste x y und dann die 4 eintippen?man...der macht noch nich mal Brüche
18.03.2007, 01:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst Fragen stellen... Ich hab die Potenzen doch kleiner gemacht. Man köann dan z.b. für n=2 so rechnen: 222+42+1, = , aufschreiben = Zähler 42*2+2, =, aufschrieben = Nenner
18.03.2007, 01:32	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin jetzt bei der 1 Aufgabe,diese ist fallend,also cn<cn+1 muss ich jetzt hinter jedem n ne +1 machen? siehe: 2nhoch3+1+4nhoch2+1+1
18.03.2007, 01:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Fallend ist richtig. Bei c_n+1 wir jedes n durch n+1 ersetzt. Bin morgen, also später heute auch wieder da- du kannst meine Beiträge zitieren, dasnn siehst Du wie das mit dem Editor geht. Die Lernzeit ist sinnvoll investiert. Bis "Später"
18.03.2007, 13:47	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Jemand guckt sich grad meine Aufgaben an und er meint, dass hinter dwer kompletten Aufgabe cn nur eine +1 dahinter kommt und dnichz hinter jedem n!? Was ist denn nun richtig?
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18.03.2007, 13:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Liebe Lilli, bitte nimm den Formeleditor und schreib damit auf was Du damit meinst. Hellsehen kann ich nicht, was ihr mit der +1 meint. Danke
18.03.2007, 13:50	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann ich doch nicht und soviel Zeit hab ich jetzt auch nicht. es heißt cn<cn+1 d.h. das ich für cn+1 hinter der kopletten Aufgabe cn nur eine +1 hinschreibe und nicht hinter jedem n der Aufgabe?! so besser?
18.03.2007, 13:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Und soviel Zeit sollte sein Bitte für die zukunft mal das hier lesen...Formeleditor Was soll cn < cn+1 heißen? 1. $\begin{eqnarray} c_n < c_{n+1} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} c_n < c_n +1 \end{eqnarray}$
18.03.2007, 13:53	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Na die Formel, die du mir für fallend gegeben hast
18.03.2007, 13:57	Vieta	Auf diesen Beitrag antworten »
ZENSIERT ich hatte mich hier im Beispiel verrannt sry
18.03.2007, 13:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber die willst du ja anscheinend nicht verwenden. Wo um Himmelswillsen soll diese +1 hin und was mißfällt Euch an meiner Lösung? Beispiel 1 war: $\begin{eqnarray} c_n=\frac{n}{2n+1} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} c_{n+1} = \frac{n+1}{2(n+1)+1} = \frac{n+1}{2n+3} \end{eqnarray}$ Schluss aus. Was wollt ihr schreiben? $\begin{eqnarray} c_{n+1} = \frac{n}{2n+1} +1 \end{eqnarray}$ , oder wie?
18.03.2007, 13:59	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja,so wolen wir es schreiben,ist das richtig?
18.03.2007, 14:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
NEIN. Setzt doch mal Zahlen ein. Dann siehst du doch, dass es nicht stimmt. $\begin{eqnarray} c_2 = \frac{2}{5} = 0.4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_3 = \frac{3}{7} \approx 0.429 \neq 0.4 + 1 \end{eqnarray}$
18.03.2007, 14:14	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der ersten Aufagbe gib mir mal die Lösung für cn>cn+1 ich streit mich hier rum,weil ich auf deiner Seite bin
18.03.2007, 14:36	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} c_n=\frac{2n^2+4n+1}{4n^2+n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_n>c_n+_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2n^2+4n+1}{4n^2+n}>? \end{eqnarray}$ so,ich habs probiert...
18.03.2007, 14:41	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} c_n=\frac{2n^2+4n+1}{4n^2+n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_n>c_n+_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2n^2+4n+1}{4n^2+n}>\frac{2n+1^2+4n+1+1}{4n+1^2+n+1} \end{eqnarray}$ ?
18.03.2007, 14:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der ersten "Nachtaufgabe" oder wie? die Folge hie? $\begin{eqnarray} c_n=\frac{2n^2+4n+1}{4n^2+n} \end{eqnarray}$ Man berechnet sich ein paar Werte: $\begin{eqnarray} c_0 = \text{nicht definiert} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_1 = \frac{7}{5} = 1.4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_2 = \frac{17}{18} \approx 0.944 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_3 = \frac{31}{39} \approx 0.795 \end{eqnarray}$ Man vermutet, dass die Folge streng monoton fällt und macht den Ansatz: $\begin{eqnarray} c_n > c_{n+1} \quad \text{für alle } n = 1,2,... \end{eqnarray}$ Man setzt ein: $\begin{eqnarray} \frac{2n^2+4n+1}{4n^2+n}> \frac{2(n+1)^2+4(n+1)+1}{4(n+1)^2+(n+1)} \end{eqnarray}$ Beseitigt die Brüche: $\begin{eqnarray} [2n^2+4n+1]\cdot[4(n+1)^2+(n+1)] > [2(n+1)^2+4(n+1)+1][4n^2+n] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [2n^2+4n+1]\cdot[4(n^2+2n+1)+n+1] > [2(n^2+2n+1)+4n+5]\cdot[4n^2+n] \end{eqnarray}$ Sortiert das ganze ein wenig: $\begin{eqnarray} [2n^2+4n+1]\cdot [4n^2+8n+4+n+1]>[2n^2+4n+2+4n+5]\cdot[4n^2+n] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [2n^2+4n+1]\cdot [4n^2+9n+5]>[2n^2+8n+7]\cdot[4n^2+n] \end{eqnarray}$ Multipliziert aus: $\begin{eqnarray} 8n^4+18n^3+10n^2+16n^3+36n^2+20n+4n^2+9n+5 > \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8n^4+2n^3+32n^3+8n^2+28n^2+7n \end{eqnarray}$ Fasst zusammen: $\begin{eqnarray} 8n^4+34n^3+50n^2+29n+5 > 8n^4+34n^3+36n^2+7n \end{eqnarray}$ Bringt alles auf die Linke Seite: $\begin{eqnarray} 14n^2+22n+5 >0 \end{eqnarray}$ Und erhält, da n > 0 gilt eine wahre Aussage. Damit ist die Vermutung, dass es sich um eine streng monoton fallende Folge handelt richtig gewesen. Wieder erkennt man, dass die Folgenglieder nicht negtiv sind. Also ist z.B. -1 eine untere Schranke. Zum Beweis: $\begin{eqnarray} c_n > -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2n^2+4n+1}{4n^2+n} > -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2n^2+4n+1 > -4n^2-n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6n^2+5n+1 > 0 \end{eqnarray}$ Wieder erhalten wir eine wahre Aussage, und die Folge ist von unten durch -1 beschränkt. Daher konvergiert sie und es existiert der Grenzwert: $\begin{eqnarray} c:=\lim_{n \to \infty}~c_n=\lim_{n \to \infty}~\frac{2n^2+4n+1}{4n^2+n} \end{eqnarray}$ Zu seiner Berechung verwendet man die Verlinkten Grenzwertsätze, wobei man auf bekannte Genzwerte zurückgreift. $\begin{eqnarray} c =\lim_{n \to \infty}~\frac{n^2(2+4\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(4+\frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty}~\frac{2+4\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{4+\frac{1}{n}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Wir verdeutlichen das anschaulich mit dem Plotter (Übergang von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ )
18.03.2007, 14:51	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde sowas nie fehlerfrei hinbekommen!Ich brauch mich nur einmal verrechnen! das schlimmste ist echt das sortieren,ausmultiplizieren und so, das ist viel zu viel,da verlier ich den Überblick!
18.03.2007, 15:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Versthst Du den WEg jetzt wenigstens?
18.03.2007, 15:07	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} c_n=\frac{3n^2+n}{6n} \end{eqnarray}$ Man berechnet sich ein paar Werte: $\begin{eqnarray} c_0 =\frac{4}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_1 =\frac{14}{12} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_2 =\frac{30}{186n} \end{eqnarray}$ Man vermutet, dass die Folge stren monoton steigend $\begin{eqnarray} c_n = c_{n+1} \quad \text{für alle } n <1,2,... \end{eqnarray}$ Man setzt ein: $\begin{eqnarray} \frac{3n^2+n}{6n}< \frac{3(n+1)^2+(n+1)}{6(n+1)} \end{eqnarray}$ so,aber jetzt
18.03.2007, 15:08	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
>für das kommt ein = hin
18.03.2007, 15:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst Deine Beiträge editieren. mach das mal. Längere Potenzen gehen mit{} Klammern.
18.03.2007, 15:19	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
warte,jetzt gehts weiter
18.03.2007, 15:22	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Beseitigt die Brüche: $\begin{eqnarray} [3n^2+n]\cdot[6(n+1)] < [3(n+1)^2+(n+1)]\cdot[6n] \end{eqnarray}$ warte,ich brauch etwas länger, um alles umzudenken
18.03.2007, 15:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne deine Folgenwerte nochmal. Die stimmen nicht.
18.03.2007, 15:31	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
und jetzt?Klammern auflösen?
18.03.2007, 15:32	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
ja,die rechne ich im Kopf...klar das die Falsch sind warte
18.03.2007, 15:40	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
warum nich? 31=3+1=4:61=6=0,66666667 33=9+3=12:63=18=0,66666667 32=6+2=8:62=12=0,66666667
18.03.2007, 15:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} c_n=\frac{3n^2+n}{6n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_1=\frac{3\cdot 1^2+1}{6} = \frac{4}{6} \approx 0.67 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_2=\frac{3\cdot 2^2+2}{6\cdot 2} = \frac{14}{12} \approx 1.17 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_3=\frac{3\cdot 3^2+3}{6\cdot 3} = \frac{30}{18} \approx 1,67 \end{eqnarray}$
18.03.2007, 15:46	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
tja,ich kann nicht im kopf rechnen. also streng monoton steigend
18.03.2007, 15:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
würde man vermuten
18.03.2007, 15:52	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
ausklammern?
18.03.2007, 15:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
was?
18.03.2007, 16:01	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
[quote]Original von Lillichen $\begin{eqnarray} c_n=\frac{3n^2+n}{6n} \end{eqnarray}$ Man berechnet sich ein paar Werte: $\begin{eqnarray} c_0 =\frac{4}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_1 =\frac{14}{12} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_2 =\frac{30}{18} \end{eqnarray}$ Man vermutet, dass die Folge streng monoton steigend ist $\begin{eqnarray} c_n < c_{n+1} \quad \text{für alle } n <1,2,... \end{eqnarray}$ Man setzt ein: $\begin{eqnarray} \frac{3n^2+n}{6n}< \frac{3(n+1)^2+(n+1)}{6(n+1)} \end{eqnarray}$ bis hierhin hab ich.jetzt ausklammern?Kann das bei der letzten Aufgabe hier nicht nachvollziehen
18.03.2007, 16:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Nenner wegmultiplizieren... \|* 6n, *6(n+1)
18.03.2007, 16:05	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
[quote]Original von Lillichen Beseitigt die Brüche: $\begin{eqnarray} [3n^2+n]\cdot[6(n+1)] < [3(n+1)^2+(n+1)]\cdot[6n] \end{eqnarray}$ quatsch.bis hierhin hab ich doch schon...aber jetzt
18.03.2007, 16:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausmultiplizieren.
18.03.2007, 16:16	Lillichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Beseitigt die Brüche: $\begin{eqnarray} [2n^2+4n+1]\cdot[4(n+1)^2+(n+1)] > [2(n+1)^2+4(n+1)+1][4n^2+n] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [2n^2+4n+1]\cdot[4(n^2+2n+1)+n+1] > [2(n^2+2n+1)+4n+5]\cdot[4n^2+n] \end{eqnarray}$ ??? das kann ich beim letzten auch schon nicht richtig nachvollziehen
18.03.2007, 16:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach die KLammern auflösen. Was sonst? $\begin{eqnarray} [3n^2+n]\cdot[6(n+1)] < [3(n+1)^2+(n+1)]\cdot[6n] \end{eqnarray}$ Zuer die (), denke bei()² an binomische Formeln: $\begin{eqnarray} [3n^2+n]\cdot[6n+6] < [3(n^2+2n+1)+n+1]\cdot[6n] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [3n^2+n]\cdot[6n+6] < [3n^2+6n+3+n+1]\cdot[6n] \end{eqnarray}$ Zusammenfassen: $\begin{eqnarray} [3n^2+n]\cdot[6n+6] < [3n^2+7n+4]\cdot[6n] \end{eqnarray}$ Jetzt die [] Klammern auflösen...

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