Grenzwertberechnung

16.03.2007, 18:19

Lillichen

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Grenzwertberechnung

also...
Ich hab große Probleme in Mathe. Ich mache zusätzlich zu meiner Ausbildung Fachabi und dort habe ich eine Lehrerin, bei der ich einfach nix versteh, vor allem nicht so spät am Abend. Ich habe mir auch ein Buch besorgt, aber auch dort versteh ich es nicht. Kann mir nicht mal einer Grenzwertberechnung auf einem einfachen weg erklären?
Danke

16.03.2007, 18:28

tigerbine

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RE: Grenzwertberechnung
Du machst es Dir und uns leichter, wenn Du mal eine Aufgabe aus deinem Buch stellst, die du nicht verstehst.

Willkommen

Willkommen

16.03.2007, 19:47

brain man

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Grenzwertrechnung ist ein derart großes Feld, dass man damit Seiten an Posts bringen könnte. Hier schauen und konkret fragen!

16.03.2007, 23:26

Lillichen

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RE: Grenzwertberechnung
Ich kann einfach nix...zeig es mir doch einfach an einer Aufgabe?!

17.03.2007, 01:50

pseudo-nym

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So funktioniert das nicht. Du beschäftigst mit etwas und wenn du an einer bestimmten Stelle nicht weiterkommst dann fragst du.

Tip: Fang doch am besten mal mit der Definition des Grenzwerts an. Verstehst du die?

17.03.2007, 13:27

Lillichen

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Nein.Ich versteh einfach nix, so doof hab ich mich noch nie angestellt!
also...
In meinem Buch stehet auf der ersten Seite:
Betrachten wir die Folge(cn): cn=n/2n+1
(das n ist kleiner und versetzt unter dem c,weiß aber nicht wie das geht und der/ ist der Bruchstrich)
dann erkennt man aus den Glíedern 0,1/3,2/5,3/7,4/9 usw. nicht ganz so schnell, dass auch diese Zahlen einem Wert zustreben (nämlich 1/2)
so was?
wie erkennen die denn das?
Auch das nmit der Schildkröte und Achill versteh ich, aber nur im Text, die Rechnungen versteh ich nicht.
Das waren Grenzwerte an Zahlenfolgen, was ich eigentlich nicht brauch, aber ich denke mir ich muss es verstehen um Grenzwerte einer Funktion zu verstehen.

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17.03.2007, 13:29

tigerbine

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Also sind wir beim Thema: Konvergenz von Folgen

Beispiel 1:

$\begin{eqnarray*} c_n=\frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Fangt ihr bei n=0 oder n=1 an? Aus deinen Werten schließe ich n=0.

Zu diesem Thema gibt es einen schönen Satz:

Erstes Konvergenzkriterium

Darin steht dann auch schon, was man zu tun hat. Lies mal durch. Dann geht's weiter Wink

Wink

17.03.2007, 14:29

Lillichen

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Ja,die ganze Seite hab ich mir davon schon durchgelesen..
also ich versteh einfach nix.sorry ich gebs auf.Trotzdem danke

17.03.2007, 14:34

klarsoweit

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Also so schnell wollen wir doch nicht aufgeben, oder?

Hier erstmal die Definition eines Grenzwerts:

Eine Folge a_n hat den Grenzwert g (man sagt auch: sie konvergiert gegen g), genau dann, wenn folgendes gilt:

Zu jedem epsilon > 0 gibt es ein N, so daß für alle n > N gilt:
$\begin{eqnarray*} |a_n - g| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Was heißt das? Egal wie klein man das epsilon wählt, irgendwann ist der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert g stets kleiner als das epsilon. Anders gesagt: alle Folgenglieder a_n mit n > N liegen in einem epsilon-Streifen um den Grenzwert.

Es wäre ganz gut, wenn du das einigermaßen verstehen könntest. Als gutes Beispiel kannst du die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1 n \end{eqnarray*}$ nehmen.

Weitere Erläuterungen findest du hier:
Definition des Grenzwertes

17.03.2007, 14:35

pseudo-nym

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Nicht aufgeben, mitdenken:

Weißt du was eine geordnete Veränderliche oder eine unedlich kleine Größe ist?

@klarsoweit: Keine schlechte Taktik. Erst eine kurze Ankündigung zu posten und sich dann Zeit lassen Big Laugh

Big Laugh

17.03.2007, 14:38

Lillichen

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Nein. Das letzte was ich in Mathe kapiert hab war die Ploynomdivision

17.03.2007, 14:41

Bjoern1982

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Oooch...nicht aufgeben Lillichen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist ja so, dass wenn du für das n immer größere natürliche Zahlen einsetzt, dass sich die daraus entstehenden Folgenglieder (0; 1/3; 2/5 ...) immer mehr einem bestimmten "Wert" annähern...

Es gilt nun diesen bestimmten "Wert", den sogenannten Grenzwert der Folge, herauszufinden.

Da man ja wissen will welchem Wert sich die Folgenglieder AUF DAUER annähern, kann man hier z.B. das n gegen unendlich laufen lassen und schauen welchem Wert sich das ganze dann nähert.

Kommt dir eine Limes-Betrachtung für n gegen unendlich bekannt vor ?

Gruß Björn

17.03.2007, 14:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von pseudo-nym
@klarsoweit: Keine schlechte Taktik. Erst eine kurze Ankündigung zu posten und sich dann Zeit lassen Big Laugh

Big Laugh

Ich wollte eigentlich nur verhindern, daß Lillichen sich frustriert abwendet.

@Lillichen: siehe nun meinen Beitrag oben.

17.03.2007, 14:47

pseudo-nym

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Eine geordnete Veränderliche ist eine Variable die in einer betimmten Reihenfolge bestimmt Werte an nimmt.

z.B: $\begin{eqnarray*} 1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4};\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

die Werte kann man, da sie geordnet sind natürlich auch nummerieren, so ist der erste Wert

$\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$

der zweite

$\begin{eqnarray*} a_2=\frac{1}{2}; \end{eqnarray*}$

und der dritte

$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{1}{3}; \end{eqnarray*}$

und so weiter. Wenn man jetzt das System nach dem diese Veränderliche aufgebaut ist erkennt, dann man sagen das

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n}; \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb {N} \end{eqnarray*}$

17.03.2007, 14:47

Lillichen

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ich heul gleich. ich versteh nur Bahnhof.
Also wenn ich so eine Aufgabe habe,was mach ich da als erstes?
Vielleciht versteh ich es wenn ihr mir Schritt für Schritt erklärt was ich machen muss?Aber ich glaube dazu muss ich erstmal verstehen, was es ist.
Das andere in Mathe is doch so einfach,warum kommt jetzt sowas unverständliches?Hat die Kurvendiskussion auch was damit zu tun?

17.03.2007, 15:01

Lillichen

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Ja,ok das von Pseudo-nym hab ich jetzt erstmal verstanden

17.03.2007, 15:54

Lillichen

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Erklärt es mir jetzt nochmal einer oder soll ich es aufgeben?

17.03.2007, 16:30

tigerbine

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Bitte überdenke deinen Ton. Hier haben sich schon 3 Leute eingeschaltet. In deinem vorletzten Post steht keine Frage. Also warum sollte man antworten?

Zitat:

tigerbine
Beispiel 1:

$\begin{eqnarray*} c_n=\frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Fangt ihr bei n=0 oder n=1 an? Aus deinen Werten schließe ich n=0.

Zu diesem Thema gibt es einen schönen Satz:

Erstes Konvergenzkriterium

Darin steht dann auch schon, was man zu tun hat. Lies mal durch. Dann geht's weiter Wink

Ich steige da jetzt wieder ein.

$\begin{eqnarray*} a_0=0,~a_1=\frac{1}{3}\approx 0.33,~a_2=\frac{2}{5}\approx 0.4,~a_3=\frac{3}{7} \approx 0.43,... \end{eqnarray*}$

Steigt oder fällt die Folge nun?

Ist sie von oben oder unten beschränkt?

Was sagt der verlinkte Satz dann über die Existenz eines Grenzwertes?

17.03.2007, 18:54

Lillichen

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Das war nicht bös gemeint. War nur ne Frage, ob es mir noch mal einer erklären mag...
Ich habe mir sagen lassen, dass es 3 verschiedene Formen gibt und ich anhand der Aufgabe erkennen kann, welche es ist und somit schon fast die Lösung habe...
Steigend

17.03.2007, 19:00

tigerbine

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Ok, dann begründe das mal mit der Formel. Gilt also

$\begin{eqnarray*} \frac{k}{2k+1}\leq \frac{k+1}{2(k+1)+1} \end{eqnarray*}$

Stelle das mal so um, das man eine wahre aussage erkennt.

17.03.2007, 19:25

Lillichen

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weiß ich nicht.
der Grenzwert muss kleiner gleich der oberen Schranke sein...

17.03.2007, 19:29

pseudo-nym

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DIE obere Schranke gibt's nicht. Es gibt unendlich viele von denen.

Zu Tigerbines Aufgabe: Multiplizier' doch mal die Klammer aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2007, 19:34

Lillichen

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Achso, sagt das doch gleich Hammer

Hammer

also:
2k+3 kommt raus, d.h. sie ist steigend oder wie?

17.03.2007, 20:29

tigerbine

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translating myself...

$\begin{eqnarray*} k \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{k}{2k+1}\leq \frac{k+1}{2(k+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k[2(k+1)+1)] \leq (k+1)(2k+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k[2k+2+1] \leq 2k^2+3k+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2k^2+3k \leq 2k^2+3k+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq 1 \end{eqnarray*}$

Was erkennen wir also zudem? Die strenge Monotonie.

17.03.2007, 20:43

Lillichen

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achso.und das war jetzt die ganze Grenzwertberechnung?ich bekomm so ne aufgabe, stell sie um ,um es zu beweisen?!

17.03.2007, 20:58

tigerbine

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nein, das war noch nicht die ganze Aufgabe.... unglücklich

unglücklich

- du bekommst eine Folge

- du berechnest ein paar Folgenglieder um eine Vermutung aufzustellen (fallend, steigend)

- du beweist die Vermutung

Dann geht es weiter. Jetzt noch eine Schranke angeben. Wir brauchen eine obere...Mmh mals sehen, what about...1 Also behaupt ich

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2n+1} < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Stimmt das denn auch? also wieder ein Beweis...

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2n+1} < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n < 2n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < n +1 \end{eqnarray*}$

Na das sieht ja gut aus. Also kann man den oben erwähnten Satz anwenden, und die Folge konvergiert.

Bleibt nur noch eine Frage offen...WOGEGEN?

Bis hierher jetzt erstmal klar?

17.03.2007, 21:05

Lillichen

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nein, das habe ich jetzt erstmal wieder nicht verstanden.
Für das k setzt jetzt n ein?
Ich versteh, das n<2n+1

17.03.2007, 21:07

tigerbine

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Also Du kannst oben auch die Folgenglieder $\begin{eqnarray*} a_n,~a_{n+1} \end{eqnarray*}$ vergleichen Sorry, wenn Dich das k verwirrt hat.

17.03.2007, 21:11

Lillichen

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mmh...
also eine Folge hab ich nun bekommen, diese hab ich auch bewiesen,d.h. ich hab schon ein paar Folgenglieder berechnet?Und jetzt muss ich noch meine Vermutung beweisen?Na hab ich das nicht schon indem ich das so umgestellt hab?
ach man

17.03.2007, 21:18

tigerbine

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Die Folge war dir mit der Definition

$\begin{eqnarray*} c_n=\frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

gegeben. Gefragt war jetzt: Konvergiert die Folge? Und wenn ja, wogegen. Dabei benutzen wir den verlinkten Satz. Das heißt zunächst einmal berechnet ma sich ein paar Folgenglieder:

$\begin{eqnarray*} a_0=0,~a_1=\frac{1}{3}\approx 0.33,~a_2=\frac{2}{5}\approx 0.4,~a_3=\frac{3}{7} \approx 0.43,... \end{eqnarray*}$

Diese lassen vermuten, dass die Folge (streng) monoton steigend ist. Also lohnt sich ein Beweisversuch dieser Behauptung (jetzt mit n Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

$\begin{eqnarray*} c_n < c_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2n+1} < \frac{n+1}{2(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n[2(n+1)+1)] < (n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n[2n+2+1] < 2n^2+3n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2n^2+3n < 2n^2+3n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < 1 \end{eqnarray*}$

Also war die Behauptung richtig und die Folge ist streng monoton steigend. Jetzt schauen wir, ob sie von oben beschränkt ist. Wir wählen als Schrankenversuch eben mal 1:

$\begin{eqnarray*} c_n < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2n+1} < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n < 2n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < n +1 \end{eqnarray*}$

Wieder erhalten wir eine wahre Aussage, also stimmt auch diese Behauptung. Der Satz findet Anwendung und wir haben bewiesen:

Die Folge konvergiert

Was jetzt noch fehlt, ist der Grenzwert (dass er exisitert haben wir gezeigt)

$\begin{eqnarray*} c:=\lim_{n \to \infty}~c_n \end{eqnarray*}$

17.03.2007, 21:23

Lillichen

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wie berechne ich mir die Folgenglieder?Indem ich mir für n ein paar Zahlen einsetze?Ich erkenne, dass sie STRENG monton steigend is an den Folgengliedern, da diese 0,33 0,43 und auch 0,53 sind?

17.03.2007, 21:35

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Na das ist doch der leichteste Teil der Aufgane einfach mal für n=0,1,2,3,4,... die Werte berechnen.

Darasu erkennst Du mal eine Vermutung STEIGEND oder FALLLEND. Beim Beweis siehst Du dann, ob sogar STRENG gilt.

17.03.2007, 21:36

Lillichen

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibst du mir ne Aufgabe und ich probiers mal?Ich glaub das letzte kapier ich nicht

17.03.2007, 21:39

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} c_n=\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Also bitte untersuche, ob die Folge konvergiert.

17.03.2007, 21:49

Lillichen

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nee um ehrlich zu sein ich verstehs doch nicht,ich dachte...
also...
ich berechne ein paar Folgenglieder,indem ich für n o,1,2,3 usw einsetze?
d.h. a0=0 a1:1/3 a2:0,2 a3:0,142...
(sorry hab kein Taschenrechner hier nur Handy...)
aber die Fällt dóch jetzt,oder?

17.03.2007, 21:54

tigerbine

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Sehr richtig. die fällt. Aber auch ins Bodenlose? Sie kann ja auch von unten beschränkt sein. Wer braucht hier einen TR? Windows hat so was auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also die korrekten Werte lauten.

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{1},~c_1=\frac{1}{3},~c_2=\frac{1}{5},~c_3 = \frac{1}{7},... \end{eqnarray*}$

Da würde ich doch stark auf fallend tippen. Aber das beweist du jetzt mal.

17.03.2007, 22:01

Lillichen

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also ist cn> cn+1
ich drehe alles vom vorigen mal um?

17.03.2007, 22:03

tigerbine

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Ich bitte darum. jetzt aber ran an den Beweis und wuhig mal den Editor verwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2007, 22:08

Lillichen

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wenn ich den Benutze komm ich gar nicht mehr klar,tut mir leid.

cn>cn+1

n/2n+1> 1+1/ 2(n+1)+1

1(2(n+1)+1) > (1+1)(2n+1)

so erstmal ok?oder mach ich mal wieder alles falsch?
ich nehm mir einfach das bsp vom vorigen mal

17.03.2007, 22:13

tigerbine

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Und ich kann es so kaum lesen traurig

traurig

Meine Signatur sagt alles, was du brauchst.

$\begin{eqnarray*} c_n > c_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} > \frac{1}{2(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(n+1)+1 > 2n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 > 0 \end{eqnarray*}$

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