Suche Hilfe zu einem Teilbarkeitsbeweis / (2003^n + 2004) durch 5^k teilbar |
| 19.10.2004, 19:41 | tuxracer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Suche Hilfe zu einem Teilbarkeitsbeweis / (2003^n + 2004) durch 5^k teilbar Ich habe vor ein paar Tagen de.rec.denksport für mich entdeckt und versuche mich nun an ein paar Beweisen. Ich möchte damit meinen mathematischen Sachverstand etwas schulen. Nunja, an einem Beweis beiße ich mir gerade ein wenig die Zähne aus, da ich mir nicht sicher bin ob ich mich auf dem richtige Weg befinde. Hier die Aufgabe (Posting vom 14. Oktober 2004) "Zeige: Fuer jede natuerliche Zahl k gibt es eine natuerliche Zahl n, sodass 2003^n + 2004 durch 5^k teilbar ist." Am Anfang hatte ich recht schnell losgelegt und mir überlegt, dass ich eigentlich nur zu zeigen brauche, das keine Division durch 0 möglich ist und es also für jede Belegung eine Lösung gibt. Nun dort sah mein Ansatz so aus: Aus den Gesetzen für Expotentialfunktionen folgt, das 2003^n > 1, für alle n größer gleich 0 (also für alle n elem. |N) Das gleiche gilt für 5^k. Damit dachte ich geklärt zu haben, das eine Lösung besitzt, also phi immer Werte annimt. Jetzt ist mir allerdings eingefallen, das ich damit ja sicher nicht die Frage nach der Teilbarkeit geklärt hätte. Ich muss ja doch eigentlich zeigen, dass es für jedes k ein n gibt, sodas phi = 0 ist. Jetzt bin ich am überlegen wie und ob es vielleicht der richtige Weg ist zu zeigen, dass es für jedes k ein gibt, so dass die letzten k-Stellen von lambda durch 5^k teilbar sind. Nur irgendwie hätte ich das ganze ja dadurch nicht gelöst, sondern nur ein wenig 'vereinfacht'. Hat vielleicht jemand ein paar Ratschläge für mich (Ich suche nicht die Lösung, will ja selber noch ein wenig knobeln, hi), wie ich besser vorgehen könnte? Gibt es vielleicht ein paar allgemeine Ratschläge wie man an Beweise rangeht? Gibts da nicht immer ein paar Kochrezepte, also "Na den Beweis führt man wie den Beweis für dies und jenes.." Ich kenne zwar die Beweisverfahren aber stehe wenn ich mich selber mal an einen Beweis mache immer wie der Ochse vorm Berg :-)) Vielen Dank! Gruss, Oliver Quelle: http://groups.google.de/groups?dq=&hl=de...%3DGoogle-Suche Anmerkung: Ich glaube die Lösung meines Problems ist die Kongruenz. Mir ist nur nicht ganz klar wie ich damit umgehe. Ich will z.B. die letzte Stelle von 2003^k bzw. 2003^2 ausrechnen...Wie muss ich vorgehen? (Ich sitze gerade an dem Wikipedia Artikel über Konguenz, mir ist klar was es bedeutet aber ich kann bei den Beispielen nicht so ganz nachvollziehen wie ich auf a,b, m komme (teilweise werden dei ja modifiziert..) und das dann auflöse..) |
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| 19.10.2004, 22:14 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Suche Hilfe zu einem Teilbarkeitsbeweis / (2003^n + 2004) durch 5^k teilbar . Ich will z.B. die letzte Stelle von 2003^k bzw. 2003^2 ausrechnen...Wie muss ich vorgehen? 3^k berechnen. Wegen der vorgeschalteten Nullen liefert das sogar mehr als nur die letzte Stelle . |
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| 23.10.2004, 13:44 | :-) | Auf diesen Beitrag antworten » |
Übrigens tuxracer, du musst kein n finden, so dass phi=0 ist, sondern so dass phi ganzzahlig ist. Wenn du zeigst, dass die letzten k Stellen einer Zahl a durch 5^k teilbar sind, dann weißt du, dass a durch 5^k teilbar ist. Denn du kannst a zerlegen als a = 10^k * a1 + a2. Da 10^k durch 5^k teilbar ist, ist a durch 5^k teilbar genau dann wenn a2 durch 5^k teilbar ist. Damit hast du das Problem also dahingehend vereinfacht, dass du statt a nur noch a mod 10^k betrachten musst. Ich hätte die Idee, schrittweise das k zu erhöhen, denn wenn a durch 5^k teilbar ist, dann erst recht durch 5^(k-1). Wenn es dir also gelingt, nicht nur ein n, sondern alle n zu bestimmen, für die 2003^n + 2004 durch 5^(k-1) teilbar ist, dann kannst du deine Suche nach Vielfachen von 5^k auf die gefundenen Werte von n einschränken. Vielleicht erkennst du so ein Schema. |
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