geometrische Summe und Induktionsaufgabe

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cbt Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische Summe und Induktionsaufgabe
Ich habe 2 Aufgaben, die ich noch nicht lösen kann. Help me please

erste Aufgabe ist:

k=1 bis 100 sigma 1,5^(k-1)

(Ich schreibe in normaler Formel:
1,5^0 + 1,5^1 + 1,5^2 + 1,5^3 + ...+ 1,5^99 = ??? )

sorry, ich weiß nicht, wie man die math Symbole in der Forum erstellen kann. (z.B: wie kann ich ein sigma Symbol haben?)

2.Aufgabe:

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n>= 1 folgendes gilt:
1*2 + 2*3+ 3*4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

Ich bedanke mich für Ihre Hilfe.

CBT

edit: Titel geändert, bitte aussagekräftige Titel wählen! Hilfe braucht hier fast jeder... (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten: Kennst du die Summenformel für geometrische Summen?
2. Schon ne Idee? Hast du schon den Induktionsanfang? Der Induktionsschritt is relativ einfach, auch schon ne Idee? Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Auch hier gilt: Das Thema NICHT mit solchen nichtssagenden Überschriften "Bitte hilf mir ..." versehen! Im Titel soll kurz stehen, um was es geht, also z.B. "Induktionsbeweis" od. "Summe einer Reihe" ...

Ein wenig möchte ich auch (MSS) noch präzisieren: Es ist die Summe einer endlichen geometrischen Reihe gemeint! (Erstes Glied 1, Quotient 1,5, Anzahl der Glieder ...?)

Zum Verfahren der vollständigen Induktion:

1.: Induktionsanfang: Formel für ein beliebiges n aus der Def. Menge überprüfen

2.: Induktionsannahme (-Voraussetzung): Formel sei für n richtig, damit mittels
Induktionsschluss die Richtigkeit für (n+1) zeigen (Schluss von n auf n+1).

Gr
mYthos
cbt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Auch hier gilt: Das Thema NICHT mit solchen nichtssagenden Überschriften "Bitte hilf mir ..." versehen! Im Titel soll kurz stehen, um was es geht, also z.B. "Induktionsbeweis" od. "Summe einer Reihe" ...

Enschuldigung to all
Ich kann Deutsch schlecht, deshalb weiß ich nicht wie man formulieren soll, außerdem weiß ich auch nicht, in welcher Art meine Aufgabe ist. Induktion habe ich noch nicht gelernt. Nächstes Mal bemühe ich mich eine bessere Titel zu schreiben.

[quote=MSS] Zur ersten: Kennst du die Summenformel für geometrische Summen?
[/quote]
Sorry, ich kenne nicht. Kann man diese Aufgabe lösen mit ohne Kenntnisse über geometrische Summen??

2.Aufgabe:
Zitat:
Schon ne Idee?

Ich bemühe mich eine Idee zu haben. Also schreibe ich:

1*2 + 2*3+ 3*4 + ... + n(n+1)
=1*(1+1) + 2*(2+1) + 3* (3+1) + ... + n(n+1)

=(1+2+3+ ... + n) + (1² + 2²+ 3² + ...+ n²)

= (1+n).n/2 + (1² + 2²+ 3² + ...+ n²)

Ich komme nicht weiter, wie kann man die Summen:
(1² + 2²+ 3² + ...+ n²) rechnen :-(

Kannst du mir bitte noch eine Hinweis geben??

Vielen Dank!!

gruß,
CBT
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also schlecht würde ich dein Deutsch nicht nennen! Augenzwinkern
Also ohne die Summenformel könntest du es nur ausrechnen. Aber sie is leicht herzuleiten, ich geb sie dir mal. Wenn du eine Herleitung haben willst, sag nochmal Bescheid.
Also:



n is bei dir 99, was is wohl das q in deinem Beispiel? Augenzwinkern

Zu der zweiten Aufgabe: Was du da grad machst, is ein Ansatz zur Herleitung der Formel, also ein direkter Beweis. Du sollst es aber über Induktion machen. Weißt du denn, was Induktion ist und wie das überhaupt geht?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler

.....


n is bei dir 99, was is wohl das q in deinem Beispiel? Augenzwinkern



Dem kann ich mich nicht anschließen!

Vielmehr ist



und n = 100, aber k geht von 0 bis 99

Die geometrische Reihe hat demnach 100 Glieder, der Quotient ist 1,5 und deren Summe ist



 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Verbesserung! Ich mach aber auch Schusslefehler in letzten Tagen ...
wollte eigentlich von i=0 bis n schreiben, habs mal verbessert. Augenzwinkern
cbt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Vielmehr ist



und n = 100, aber k geht von 0 bis 99

Die geometrische Reihe hat demnach 100 Glieder, der Quotient ist 1,5 und deren Summe ist





Vielen Dank, MSS und Herr mYthos!

Hi Herr mYthos:
Ich finde einen Fehler in Ihrer Formel, vielleicht haben Sie nicht aufgepasst :


Ich setze Zahlen darauf und habe:
2+2²+3³ # (2³-1)/(2-1) ;

Ich hab versuchen es zu korrigieren. Also:

Hoffe, dass es richtig ist :-)

To MSS:
Zitat:

Wenn du eine Herleitung haben willst, sag nochmal Bescheid.
Also:



Ich versuche mal deine oberen Formel zu beweisen. Also:



=> =
=
=
=> A = (w.z.b.w)

Ist es richtig??
Außerdem versuche ich diese Formel auch zu erweitern. Ich habe:



Zu Aufgabe 2:
Zitat:
Du sollst es aber über Induktion machen. Weißt du denn, was Induktion ist und wie das überhaupt geht?

Ich habe noch keine Ahnung, was Induktion ist :-(
Hier ist die Aufgabe von 2.Halbjahr in meiner Schule aber ich versuch das jetzt zu machen. Ich bedanke mich, wenn du mir zeigen, wie Induktion ist.

Thank Herr mYthos and MSS again!!
gruß,
CBT

PS: Ich habe gefunden, wie man [latex] command im Forum benutzt Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cbt
Hi Herr mYthos:
Ich finde einen Fehler in Ihrer Formel, vielleicht haben Sie nicht aufgepasst :

Saugeil, @cbt. Big Laugh Das ist nicht gegen dich gerichtet, mYthos. Ich finde die Ausdrucksweise nur super.

@cbt: Du brauchst uns nicht mit "Sie" anzureden. Wir befinden uns alle auf demselben Niveau.

cbt hat recht, da ist tatsächlich ein Fehler drin. Sowohl bei MSS als auch bei mYthos. Es muss heißen

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Zum Verfahren der vollständigen Induktion:

1.: Induktionsanfang: Formel für ein beliebiges n aus der Def. Menge überprüfen


Das ist nicht richtig, mYthos. Damit deckt man dann nicht die Zahlen vor diesem n ab. Man muss die Behauptung für das erste n beweisen, für das die Behauptung gelten soll.

@CBT: Wir haben hier einen Workshop zur vollständigen Induktion. Schau mal rein.
cbt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Saugeil, @cbt. Big Laugh Das ist nicht gegen dich gerichtet, mYthos. Ich finde die Ausdrucksweise nur super.

Oh, I'm sorry, Herr mYthos, wenn mein Satz nicht so gut ist. Ich habe keine schlechte Gedanke :-(

Zitat:
@cbt: Du brauchst uns nicht mit "Sie" anzureden. Wir befinden uns alle auf demselben Niveau

Aber zu Herrn mYthos, ich muss "Sie" sagen, weil er 63 Jahre alr ist.

Zitat:
Sowohl bei MSS als auch bei mYthos

MSS ist nicht falsch, weil bei seinem Formel fängt k von 0 an.
k=0 ---> n.

Zitat:
@CBT: Wir haben hier einen Workshop zur vollständigen Induktion. Schau mal rein.

Oh, ich werde suchen. Thank you :-) !

gruß,
cbt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cbt
Zitat:
Original von WebFritzi
Saugeil, @cbt. Big Laugh Das ist nicht gegen dich gerichtet, mYthos. Ich finde die Ausdrucksweise nur super.

Oh, I'm sorry, Herr mYthos, wenn mein Satz nicht so gut ist. Ich habe keine schlechte Gedanke :-(

Nein, dein Ausdruck ist super!


Zitat:
Original von cbt
Zitat:
@cbt: Du brauchst uns nicht mit "Sie" anzureden. Wir befinden uns alle auf demselben Niveau

Aber zu Herrn mYthos, ich muss "Sie" sagen, weil er 63 Jahre alr ist.

Du musst es nicht. Das macht im Internet sowieso so gut wie keiner. Aber wenn du möchtest, darfst du es, und ich bin sicher, dass es ihn ehrt. Augenzwinkern


Zitat:
Original von cbt
Zitat:
Sowohl bei MSS als auch bei mYthos

MSS ist nicht falsch, weil bei seinem Formel fängt k von 0 an.
k=0 ---> n.

Richtig. Das hatte ich übersehen. Komischerweise hatte ich eine 1 gesehen...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@cbt
Is alles richtig!! Freude

@Webfritzi
Ich hatte meine Formel schon verbessert, wie cbt schon gesagt hat Augenzwinkern

Ihn den Workshop suchen lassen, is ja gemein. Augenzwinkern
Hier gehts zum Workshop
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Richtig. Das hatte ich übersehen. Komischerweise hatte ich eine 1 gesehen...


Dann ist es also doch nicht so einfach mit den Peano-Axiomen. Es gilt ja bekanntlich N(0) ungleich 0!

Tss,tss,tss,...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

ja, und tatsächlich hatte ich das eine q vergessen, denn die Summenformel der geom. Reihe lautet ja



Und da das erste Glied nicht 1, sondern q ist, war noch das q zu ergänzen, klaro.

@WebFritzi
Stimmt, der Induktionsanfang ist unbedingt mit dem ersten n aus der Def.Menge zu überprüfen.

Und übrigens, hinsichtlich meines Alters ist keinerlei Vorsicht geboten, sebstverständlich könnt ihr alle DU (und dies ohne HERR) sagen!

Thx & Gr
mYthos
cbt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von cbt
Zitat:
Original von WebFritzi
Saugeil, @cbt. Big Laugh Das ist nicht gegen dich gerichtet, mYthos. Ich finde die Ausdrucksweise nur super.

Oh, I'm sorry, Herr mYthos, wenn mein Satz nicht so gut ist. Ich habe keine schlechte Gedanke :-(

Nein, dein Ausdruck ist super!

@WebFritzi:
Wenn es super ist, warum nennst du mich saugeil?? Saugeil heißt: geil wie eine Sau, oder?? Ich bin doch keine Sau traurig

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
@cbt
Is alles richtig!! Freude

Ihn den Workshop suchen lassen, is ja gemein. Augenzwinkern
Hier gehts zum Workshop


Whoaaaaaaaaa, Ich bin happy happy, dass alles richtig ist Tanzen
Danke schön für das link zum WorkShop, du bist sooo gut und nicht gemein Augenzwinkern

Nach dem Lesen über Induktion kann ich schon die 2.Aufgabe lösen.
Kannst du bitte mal gucken, ob es richtig ist?

1.Schritt: zeige dass: n=1 gilt ...

2.Schritt: Induktionsvorraussetzung (IV): Es gelte für ein n=k (k>=1), dass:



3.Shritt: Beweisen, dass es auch für ein n= k+1 gilt!
Also:




(q.e.d.)
fertig .... hihi

Aber ich mag diese Beweisenmethode(Induktion) nicht, weil es den Weg zum Formel nicht zeigen kann. Ein direktes Beweisen ist besser!
Ich habe noch eine Frage:
Wie kann man herausgefunden dass,


Wie kommt man zu das Ergebnis:
Kann jemand mir zeigen, wie man das gefunden hat?? Wenn ich wäre, kann ich oberen Formel sicher nicht herausfinden :-(

Vielen Dank!!!

gruß,
cbt
cbt Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich hab vergessen zu fragen:

Kann man nur mit natürliche Zahlen( N ) Induktion benutzen ???
Ich glaube: mit rational, reellen Zahlen ... kann man nicht mit Induktion beweisen, oder .....
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Webfritzi is nich gemein! Augenzwinkern "Saugeil" is einfach so ein umgangssprachliches Wort wie etwa "cool".

Die Induktion kann man wirklich nur für natürliche Zahlen benutzen, für reelle geht das nicht!

Zitat:
Original von cbt
Aber ich mag diese Beweisenmethode(Induktion) nicht, weil es den Weg zum Formel nicht zeigen kann. Ein direktes Beweisen ist besser!


Das find ich an der Induktion auch nich gut. Aber manchmal kann man es doch mehr oder weniger an Beispielen herleiten und dann durch völlständige Induktion letzlich beweisen.

Zu dem anderen, das geht so:







Jetzt gibts wieder Formeln für die beiden Summen in den Klammern, kennst du die schon?
cbt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Webfritzi is nich gemein! "Saugeil" is einfach so ein umgangssprachliches Wort wie etwa "cool".

@WebFritzi:
Oh, Entschuldgiung WebFritzi. I'm very very sorry ...
Du bist der Erste, der meinen Ausdruck "super" sagt (Ich habe nur 4- in meiner 1. deutsch Klausur, das ist so schlimm traurig )
Ihr seid auch saugeil, WebFritzi und MSS Augenzwinkern

@MSS:
Ich kenne den Formel:



Und ich habe in Tafelwerk Formel für den 2.Teil gefunden:


Aber wie kommt man auf das Ergebnis: .
Wer hat diesen Formel heraugefunden?? Er ist sicher super !!!

Gibt es eine allgemeine Formel für:


Vielen Dank!!!

gruß,
cbt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also eine allgemeine Formel für das ganz unten gibt es zwar, die is aber sehr kompliziert. Hier is sie mal, du wirst sie ohne Kenntnis des Summenzeichens nicht verstehen und auch die bernoullischen Zahlen sind noch so ne andere Sache ... Aber man kann für jedes n eine Summenformel finden! Aber schon für n=5 wird das sehr aufwändig!
Eine Herleitung dafür gibts auch, hier ist sie mal gezeigt worden. Allerdings brauchst du da das Summenzeichen, kennst du das schon?
Und das andere geht dann so:





Den Rest kriegst du hier selbst hin oder?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cbt
@WebFritzi:
Oh, Entschuldgiung WebFritzi. I'm very very sorry ...
Du bist der Erste, der meinen Ausdruck "super" sagt (Ich habe nur 4- in meiner 1. deutsch Klausur, das ist so schlimm traurig )
Ihr seid auch saugeil, WebFritzi und MSS Augenzwinkern

LOL... Ich fand es einfach nur so lustig, wie du mYthos angeredet hast. Das war so förmlich und ein gutes deutsch. Weißt du... Man merkt schon, dass du Fehler machst und nicht _perfekt_ deutsch kannst. Aber der Teil mit mYthos war (so weit ich mich erinnere) astreines deutsch und sehr elegant. Das war einfach lustig. Deswegen schrieb ich "saugeil", was soviel wie "cool", "besonders lustig" oder so bedeutet (wie MSS schon schrieb). Darf ich fragen, woher du kommst?

P.S.: Du hast vergessen, dass mYthos auch saugeil ist. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von cbt
Aber ich mag diese Beweisenmethode(Induktion) nicht, weil es den Weg zum Formel nicht zeigen kann. Ein direktes Beweisen ist besser!


Das find ich an der Induktion auch nich gut. Aber manchmal kann man es doch mehr oder weniger an Beispielen herleiten und dann durch völlständige Induktion letzlich beweisen.


Und für diese Vorgehensweise liefere ich gleich ein Beispiel, das ich bei der MatheBoard-Konkurrenz gefunden habe.

Man zeige die Konvergenz und berechne den Grenzwert der Folgen , die durch




rekursiv gegeben sind.

Ich habe es jedenfalls so gemacht: Erst ein bißchen probieren, die Formel erraten, dann durch Induktion beweisen. Aber es mag auch anders gehen.

Wer hat Lust, sich an der hübschen Aufgabe mit dem verblüffenden Ergebnis zu versuchen?
Calahan Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Induktion zum Beweis der folgenden Behauptung benötigt man nur Potenzgesetze. Ich führe sie deshalb nicht explizit aus. Die Limites sind dann offensichtlich.
Für alle gilt: ,
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Die explizite Formel war ja nich so schwer und damit hat man ja dann auch schon sofort nen Grenzwert gefunden. smile
"Man zeige die Konvergenz" Da reicht es dann doch eigentlich, wenn man die explizite Formel hat und n gegen unendlich laufen lässt, was einen Grenzwert ergibt, womit die beiden Folgen zwangsläufig konvergent sind oder bist du da extra nochmal mit oder einem anderen Kriterium ran?

edit: Oh, Calahan hat ja schon die Lösung gepostet geschockt
Lass doch die anderen auch mal überlegen! Augenzwinkern

edit2:
@Leopold und Webfritzi
Habt ihr auch das Gefühl, dass in diesem Thread die Zeiten des Abschickens der Posts sich ein wenig sehr stark verändert haben oder hab ich jetzt was falsches im Gedächtnis?? verwirrt
Calahan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
edit: Oh, Calahan hat ja schon die Lösung gepostet geschockt
Lass doch die anderen auch mal überlegen! Augenzwinkern

Hab doch niemanden davon abgehalten. Auf jeden Fall gibt's hier auch noch was zu rechnen...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Calahan

Die Formel stimmt sogar für n=0. In der Tat ist der Induktionsbeweis reine Fleißarbeit.
Mir gefällt die Aufgabe, weil sie zeigt, wie man durch fortwährendes Quadratwurzelziehen, wenn auch erst in infinitum, eine dritte Wurzel erhält. Einfach hübsch!


@ MSS

Ein Konvergenzbeweis ist nicht erforderlich, wenn man die explizite Darstellung hat. Aber in der Formulierung der Aufgabe mußte ich dies anbringen, da ja ohne Kenntnis der expliziten Formel die Konvergenz keineswegs auf der Hand liegt. Aber man kann die Konvergenz sicher auch mit einer Art Einschließungskriterium beweisen. Schließlich werden bei der rekursiven Definition ja fortwährend geometrische Mittel gebildet.
Calahan Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Da stimme ich Dir zu!

Ich hätte hier eine auf den 1. Blick ganz ähnliche Aufgabe:



Dabei argumentiert man hier ziemlich leicht mit Beschränktheit und Monotonie.
Den expliziten Grenzwert hab ich allerdings nicht berechnet...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt auch ein äußerst effektives Berechnungsverfahren für , das mit dem Hin und Her zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel spielt (Borwein).
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Calahan



Die steht auch im Heuser, er nennt den Grenzwert das arithmetisch-geometrische Mittel der Zahlen a und b. Ich werd mich da auch mal ransetzen ...

@Leopold
Wie funktioniert das konkret mit ?
cbt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler



Den Rest kriegst du hier selbst hin oder?

Ja, das kann ich machen :-)

Zitat:
Eine Herleitung dafür gibts auch, hier ist sie mal gezeigt worden. Allerdings brauchst du da das Summenzeichen, kennst du das schon?

Ist Summenzeichen dieses Zeichen:

wenn ja ist, ich kenne einbisschen darüber.
Über deine Herleitung verstehe ich einige Stelle nicht. Ich frage in deinem Topic noch. Hoffe, Ich störe euch nicht (wegen meiner dummen Fragen) :-(

Zitat:
Man zeige die Konvergenz und berechne den Grenzwert der Folgen

Die Aufgabe von Lepold verstehe ich nicht und ich weiß auch nicht, was konvergenz und grenzwert sind :-(

@WebFritzi:
Zitat:

P.S.: Du hast vergessen, dass mYthos auch saugeil ist.

Oh ja, alle sind saugeil. Ich finde, die Leute hier sehr nett sind. Ich lerne sehr viel von euch. Nicht nur Mathematik sondern auch die Spache. ( Jetzt kenne ich neue Wort: "saugeil" hi hi ... Das ist so interessant Augenzwinkern )
Ich bedanke mich
Thank you very much
Zitat:
Darf ich fragen, woher du kommst?

I come from ... my home Augenzwinkern
Mein Geheimnis hi hi ... Tanzen


Thank to all !!!!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cbt
Ist Summenzeichen dieses Zeichen:

wenn ja ist, ich kenne einbisschen darüber.
Über deine Herleitung verstehe ich einige Stelle nicht. Ich frage in deinem Topic noch. Hoffe, Ich störe euch nicht (wegen meiner dummen Fragen) :-(

Ja, das ist das Summenzeichen. Nervst oder störst uns nicht! Augenzwinkern Wir machen das ja alles freiwillig. Wenn wir uns genervt fühlen würden, dann würden wir auch nich helfen ... Augenzwinkern

Zitat:
Original von cbt
Zitat:
Man zeige die Konvergenz und berechne den Grenzwert der Folgen

Die Aufgabe von Lepold verstehe ich nicht und ich weiß auch nicht, was konvergenz und grenzwert sind :-(


Brauchst du (noch) nicht verstehen. Wenn du nicht mal Grenzwert oder Konvergenz kennst, dann lass die Aufgabe sein. Auch wenn du Grenzwert kennen würdest, die Aufgabe is nich die einfachste Augenzwinkern
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