Linear unabhängige Vektoren

16.03.2007, 23:25

Maik1817

Linear unabhängige Vektoren

Hallo liebe Community,

ich habe in Mathe drei Aufgaben zu lösen, in denen es um die Eigenschaften von Vektoren geht. Bei der ersten beiden wollte ich nur nachfragen, ob sie ausreichend und korrekt beantwortet sind, bei der letzten bitte ich um einen kleinen Denkanstoß ^^

also ...

1.) Wie liegen die Pfeile zweier Vektoren zueinander, wenn die beiden Vektoren linear unabhängig sind.
Antwort: Sie sind nicht parallel zueinander, denn sonst müssten die Vektoren ja linear abhängig sein.

(Ist das richtig, fällt euch noch mehr ein?)

2.) Wie liegen die Pfeile mit gemeinsamen Anfangspunkt dreier Vektoren (z.B. die Basisvekoren des R^3) zueinander, wenn diese Vektoren lin. unab. sind?

Antwort: Die Vektoren sind nicht gleich gerichtet, da sie auch nicht in derselben Ebene liegen. (Gibts hierzu auch noch was beizufügen, oder vielmehr stimmt meine These überhaupt? ^^)

3.) Jo, und jetzt kommt die Frage, bei der ich überhaupt nicht klar komme:

Zeichnen Sie je einen Pfeil 2er lin.unab. Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ .
a) Zeigen sie algebraisch, das die Vektoren a+b und a-b ebenfalls lin. unab. sind.
b) Veranschaulichen Sie dies zeichnerisch.

Hier habe ich direkt bei der a) schon Probleme. Ich rechne anscheinend mit falschen Beispielen... Könnt ihr mir weiterhelfen?

Vielen Dank im Vorraus!

17.03.2007, 00:46

Bjoern1982

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Hallo

zu 1)

oder andersrum:

Wenn man zwei linear unabhängige Vektoren so zusammenfügt, dass sie im selben Scheitel beginnen, dann schließen sie immer einen Winkel ein, der größer als 0° ist.

zu 2)

Ich weiss jetzt nicht worauf du mit "nicht gleich gerichtet" hinaus wolltest, aber entscheidend ist es in der Tat, dass sie NICHT in einer Ebene liegen.

zu 3)

Der Schlüssel ist hier einfach dass man streng nach der Definition linearer Unabhängigkeit ausgeht, denn zwei Vektoren a und b sind genau dann linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur trivial darstellbar darstellbar ist :

$\begin{eqnarray*} k\cdot \vec{a} +l \cdot \vec{b}= \vec{0} \end{eqnarray*}$

=> Die Lösung dieses LGS ist ausschließlich die Null-Lösung k=l=0

Wende diesen Sachverhalt nun einmal auf die Vektoren a+b bzw a-b an.
Multipliziere danach aus und klammere dann die Vektoren a und b aus.
Dann sehen wir mal weiter Augenzwinkern

Gruß Björn

17.03.2007, 01:06

mYthos

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Hi!

1.

OK

2.

Das hat mit der Orientierung nichts zu tun.

Richtige Antwort: Die Pfeile liegen NICHT in einer Ebene (sie spannen ein Parallelepiped (schiefes Prisma) auf).

3.

Lt. Voraussetzung sind $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ lin. unabh., d.h. die einzige Relation, die den Nullvektor ergibt, ist die triviale Relation, sie lautet

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \vec{a} + 0\cdot \vec{b} = \vec{0} \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{a} - \vec{b} \end{eqnarray*}$ ebenfalls lin. unabh. sein sollen, darf es kein t geben, sodass

$\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b} = t \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b} = t \vec{a} - t \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1 + t)\vec{b} = (-1 + t) \vec{a} \end{eqnarray*}$

Welche Aussage kannst du nun für t treffen, wenn du die lin. Unabhängigkeit wie in o.a. Voraussetzung berücksichtigst und was folgt daraus hinsichtlich der lin. Ab- oder Unab- hängigkeit der angegebenen Vektoren?

mY+

EDIT: Leider zeitgleich mit Björn gepostet. Björn's Methode ist die klassische und vielleicht auch besser zu verstehen. Ich hab's mal etwas andersrum versucht, ich lass' es trotzdem mal so stehen ....

17.03.2007, 16:03

Maik1817

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Also vielen Dank für eure Hilfe, für die Aufgaben 1 und 2 hat es bei mir Klick gemacht. Nun zu Aufgabe 3:

@Bjoern1982:

Also, ich will zeigen das a+b und a-b ebenfalls lin. unab. sind. Da du mir auf die Sprünge geholfen hast, in dem du sagtest, ich solle immer streng nach dem Prinzip = Nullvektor rechnen, müsste ich ja wie folgt weitermachen:

r * (a+b) +s*(a-b) = 0
r*a+r*b + s*a-s*b =0

Ist das so richtig? Und wie müsste ich dann weitermachen?

@mYthos: Hab zwar deinen Ansatz verstanden, aber ab der vorletzten Zeile hab ich es dann nicht mehr verstanden, trotzdem danke =)

17.03.2007, 16:52

riwe

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zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} \vec{a}(r+s)+\vec{b}(r-s)=\vec{o} \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, gilt

r + s = 0
r - s = 0
mit der einzigen lösung

$\begin{eqnarray*} r =s = 0 \end{eqnarray*}$

werner

17.03.2007, 23:44

Maik1817

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@wernerrin:

Nochmal eine Nachfrage, um sicher zu gehen, dass ich alles geschnallt hab:

r+s und r-s sind linear unabhängig, weil der Nullvektor nur erzeugt werden kann, wenn diese beiden Terme gleich Null sind, richtig?

17.03.2007, 23:49

Bjoern1982

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Zitat:

da $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, gilt

r + s = 0
r - s = 0

Nur die Vektoren a und b sind linear unabhängig.

Die Linearfaktoren r+s bzw r-s müssen deshalb auch null sein...eben weil der Nullvektor bei linearer Unabhängigkeit NUR trivial darstellbar ist.

Gruß Björn

17.03.2007, 23:50

Maik1817

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Sorry wegen dem Doppelpost (kann als Gast nicht editieren) aber mir ist gerade bei meiner letzten Aussage ein Fehler aufgefallen.

@wernerrin:
Ich sollte doch zeigen das Vektor a+b und Vektor a-b linear unabhängig sind. Aber r und s sind doch die Skalare, oder nicht?

Hilfe xD *verwirrt*

18.03.2007, 00:01

Maik1817

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Boah, jetzat xD

Jetzt ist der Groschen gefallen ... Kein erklärungsbedarf mehr diesbezüglich, vergesst einfach meine dumme Nachfrage von oben.

Dann bleibt nur noch eins offen: Wie kann ich den Sachverhalt aus Aufg. 3 zeichnerisch veranschaulischen? (Aufg.3 Teil b))

Sorry das ich euch hier mit Fragen bombadiere, allerdings habe ich im Moment das Problem, dass die Schule mir viel abverlangt und dann mein Gehirn zum Einen für solches Denken irgendwie blockiert ist und mir zum Anderen daher die Zeit fehlt, lange über so einer Aufgabe zu grübeln.

Danke für euer Verständnis und ich hoffe ihr könnt mir mal wieder helfen.

18.03.2007, 00:13

Bjoern1982

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Nimm dir einfach zwei linear unabhängige Vektoren a und b....schön leicht ist es wenn diese z.B. senkrecht zueinander liegen (siehe Skizze).

Den Vektor a+b erhälst du wenn du an a den Vektor b dranhängst, also quasi die Diagonale des aus a und b aufgespannten Rechtecks.

Den Vektor a-b erhälst du wenn du an den Vektor a den Gegenvektor von b dranhängst.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß Björn

18.03.2007, 00:34

riwe

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

da $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, gilt

r + s = 0
r - s = 0

bis jetzt bin ich davon ausgegangen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} r= 0\quad{ }s=0\to r+s=0\quad{} r-s=0 \end{eqnarray*}$
sollte ich da einem irrtum unterlegen sein

verwirrt

werner

18.03.2007, 00:42

Bjoern1982

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r=0 und s=0 kannst du doch erst aus dem LGS folgern oder was meinst du jetzt ?

Wie in deinem Beitrag hier:

Zitat:

Gruß Björn

18.03.2007, 10:46

riwe

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dann verstehe ich deinen beitrag von oben nicht und du meinen nicht.
was soll´s Big Laugh

werner

edit: zum bilderl: wären (a + b) und (a - b) linear abhängig, müßten sie parallel sein.

19.03.2007, 09:47

mYthos

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Nun führe ich mein's auch noch zu Ende:

Zitat:

Lt. Voraussetzung sind $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ lin. unabh., d.h. die einzige Relation, die den Nullvektor ergibt, ist die triviale Relation, sie lautet

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \vec{a} + 0\cdot \vec{b} = \vec{0} \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{a} - \vec{b} \end{eqnarray*}$ ebenfalls lin. unabh. sein sollen, darf es kein t geben, sodass

$\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b} = t \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b} = t \vec{a} - t \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1 + t)\vec{b} = (-1 + t) \vec{a} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ lin. unabh. sind, müssen beide Faktoren Null sein

1 + t = 0 UND -1 + t = 0 daraus folgt t = -1 UND t = 1 und daraus folgt ein Widerspruch!

D.h. es gibt für

$\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b} = t \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \end{eqnarray*}$

kein entsprechendes t und die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} + \vec{b}\ \text{und} \ \vec{a} - \vec{b} \end{eqnarray*}$

sind linear unabhängig.

mY+

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