Brauche Hilfe zum Kreuzprodukt

20.10.2004, 19:51	Yoko	Auf diesen Beitrag antworten »
Brauche Hilfe zum Kreuzprodukt Also ein einfaches Kreuzprodukt mit a x b kann ich berechnen, auch wie man a und b in Komponenten darstellen kann. Aber nun kommt der Haken, wenn ich sowas sehe, weiß ich nicht wie ich da rangehen soll $\begin{eqnarray} (\vec{a} x \vec{b}) [(\vec{a} x \vec{c}) x (\vec{b} x \vec{c} )] \end{eqnarray*}$ gibt es eine Möglichkeit so etwas zu vereinfachen?
20.10.2004, 19:53	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wärs wenn Du es einfahc von innen nach aussen ausrechnest? Ansonsten , welche rechenregeln für Kreuzprodukt kennst du?
20.10.2004, 20:16	Yoko	Auf diesen Beitrag antworten »
Regeln kann ich das nicht nennen. Ich kenne nur ein paar Eigenschaften das sind folgende assoziativ, distributiv dann noch etwas zu den Einheitsvektoren von a und b und zu Parallelität und Senkrechten Vektoren. Da hört aber mein Wissen auch schon auf und habe keinen Schimmer wo ich bei dieser Aufgabe anfangen soll. Wenn ich von Innen nach außen rechne, dann ist das eine Menge Arbeit. Gibt es nicht einen Trick zur vereinfachung? Weil a, b, c ja jeweils 2mal drin vorkommen
20.10.2004, 20:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt die sogenannte Grassmann-Identität (der fette Punkt bezeichne das Skalarprodukt): $\begin{eqnarray} \vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{z}) = (\vec{x} \bullet \vec{z}) \, \vec{y} - (\vec{x} \bullet \vec{y}) \, \vec{z} \end{eqnarray}$ Wende diese an für $\begin{eqnarray} \vec{x}=\vec{a} \times \vec{c} \, , \ \vec{y} = \vec{b} \, , \ \vec{z} = \vec{c} \end{eqnarray}$ . Vereinfache unter Beachtung der Regel $\begin{eqnarray} (\vec{x} \times \vec{y}) \bullet \vec{y} = 0 \end{eqnarray}$ . Auf diese Weise kannst du die Klammer berechnen. Verwende für das verbleibende Skalarprodukt die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation und beachte $\begin{eqnarray} (\vec{x} \times \vec{y}) \bullet \vec{z} = \operatorname{det}(\vec{x},\vec{y},\vec{z}) \end{eqnarray}$ Ich habe als Endergebnis erhalten (ohne Garantie): $\begin{eqnarray} (\vec{a} \times \vec{b}) \bullet \left( (\vec{a} \times \vec{c}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) \right) = \left( \operatorname{det}(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) \right)^2 \end{eqnarray}$ VORSICHT! DAS KREUZPRODUKT IST NICHT ASSOZIATIV!
20.10.2004, 20:57	Yoko	Auf diesen Beitrag antworten »
also die Grassmann Identität habe ich schon mal was von gelesen, aber warum kann ich es so machen wie du es gemacht hast Das ich auf einmal ein Skalarprodukt dazwischen habe?
21.10.2004, 06:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Skalarprodukt stand doch schon in deiner Aufgabe. Jedenfalls habe ich den Stern * so aufgefaßt.
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21.10.2004, 10:43	Yoko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe da mal eine andere Idee zu: a x b = c a x c = b b x c = a dann wären ja alle Vektoren senkrecht zueinander und man erhält dann ja wieder diese Ingree.... Formel mit $\begin{eqnarray} \vec{c} x (\vec{b} x \vec{a} ) = \vec{b} (\vec{c} \vec{a} )-\vec{a} (\vec{c} \vec{b} ) \end{eqnarray}$ oder kann ich es so nicht machen?

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