LA I 1. Übungsblatt Gruppentheorie |
| 21.10.2004, 11:07 | Neubes | Auf diesen Beitrag antworten » |
| LA I 1. Übungsblatt Gruppentheorie habe vor einer Stunde mein erstes LA Übungsblatt bekommen und sitz jetzt doch ETWAS ratlos davor. Es wäre schon wenn ihr mir ein paar Denkanstöße geben könntet, damit ich selbst auf die Lösungen komme... 1) Für definieren wir a*b:=a+b-1 Zeige, dass (Z,*) eine abelsche Gruppe bildet. Ich weiß das eine abelsche Gruppe bedeutet, dass das Kommutativgesetz gilt. Allgemein bedeutet das ja a*b=b*a. Was muß ich aber jetzt in diesem Fall zeigen? b*a = ? 2) G sei eine nicht leere Menge und *: GxG -> G eine innere Verknüpfung für die das Assoziativgesetz gilt. Beweise mittels vollständiger Induktion, dass Produkte unabhängig von der Klammersetzung sind, d.h. P ist ein Produkt von endlich vielen Elementen a1,...an (Elemente von G, in dieser Reihenfolge), in dem irgendwie Klammern gesetzt seien, so gilt stets P= a1****an. Was ich hier zeigen muß ist mir eigentlich klar. Aber ich kann keine wirkliche Induktionsbehauptung aufstellen... Danke für eure Hilfe! |
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| 21.10.2004, 11:51 | TomBombadil | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: LA I 1. Übungsblatt Gruppentheorie Hi! Um zu zeigen, dass es sich bei (Z,*) um eine abel'sche Gruppe handelt, muß du natürlich die jeweiligen Gruppenaxiome nachweisen. (assoziativität, neutrales element, inverses Element für jedes Element für G). Eventuell noch die Abgeschlossenheit der Abb. Nun mußt du nur noch die Kommutativgesetz nachweisen für alle Elemente von Z. Ungefähr so: Seien a,b seien Elemente von Z Es muß gelten: a*b = b*a --> a+b-1 = b+a-1 Das muß für alle Elemente gelten. |
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| 21.10.2004, 12:02 | eule | Auf diesen Beitrag antworten » |
setz einfach in deine Definition ein: für a setzt du b ein und umgekehrt. Das liefert b*a=b+a-1. Nun ist die Kommutativität nicht mehr schwer zu zeigen. Du mußt aber _alle_ Körperaxiome zeigen. Bei 2) Würde ich Induktion nach der Klammeranzahl machen. Zeig einfach das du alle öffnenden Klammern nach links setzen kanst, also alle Thereme in die selbe Fom bringen kanst. zb a*(((b*c)*d) *(e*f))=((((a*b)*c)*d)*e)*f IA 1Fall (a*b)*c fertig^^ 2Fall a*(b*c)=lt. ass= (a*b)*c Nun mußt du nur mehr den Induktionsschluß zeigen. |
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