Divergenz einer Reihe zeigen

21.10.2004, 11:34

eugen

Divergenz einer Reihe zeigen

Hallo an alle,

hier noch eine Frage von mir.
Gegeben ist folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{n^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe ist zu zeigen, dass diese Reihe divergiert.

Und hier mein Lösungsansatz:
ich zerlege die Reihe in ihre Einzelkomponenten, das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1}+ \frac{2 \cdot 2}{1\cdot 2}+ \frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{1 \cdot 2\cdot 3}+...+ \frac{n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot ...\cdot n}+... \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt die jeweiligen Zähler und Nenner betrachtet, sieht man das die Zähler immer grösser sind als die Nenner. Das heisst die Summanden dieser Reihe bilden keine 0-Folge und die Reihe selbst divergiert.

Mit dieser Lösung bin ich aber nicht ganz zufrieden. Kann mir jemand einen besseren Lösungsansatz empfehlen. Ich vermute, man könnte das irgendwie mit Cauchy-Kriterium beweisen, aber ich weiss nicht, wie ich das machen soll.

21.10.2004, 11:57

Poff

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RE: Divergenz einer Reihe zeigen
... das ist doch mit das 'einfachste' was es gibt, die Reihenglieder
sind alle positiv und bilden keine Nullfolge. Was willst da sonst noch
rummachen ??

21.10.2004, 13:25

Gast

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RE: Divergenz einer Reihe zeigen
Schätz doch einfach ab:
$\begin{eqnarray*} a_{n}\geq 1 \Rightarrow \sum_{k=1}^{n}a_{n}\geq n \end{eqnarray*}$
Und dann steht's schon da!
Die triviale Abschätzung $\begin{eqnarray*} a_{n}\geq 1 \end{eqnarray*}$ kannst Du spasseshalber per Induktion beweisen.

21.10.2004, 15:21

flixgott

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ja aber das ist trotzdem zu kompliziert, denn es ist wirklich für die divergenz hinreichen zu zeigen, dass die glieder der reihe keine nullfolge bilden. und das kannst du so abschätzen. mal abgesehen davon kannst du jedes reihenglied mit 1, sprich jede partialsumme bis n mit n abschätzen.

21.10.2004, 15:45

eugen

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Danke erstmal für die Antworten!

Wenn ich richtig verstanden habe, ist jedes Reihenglied dieser Reihe grösser/gleich als der zugehörige Index, heisst also z.B.:

1. Reihenglied>=1
2. Reihenglied>=2
.
.
.
n-tes Reihenglied>=n usw.

und deswegen kann die Reihe nur divergieren. OK, soweit klar.
Wie zeige ich denn jetzt mathematisch/rechentechnisch, dass es wirklich so ist? Mit Induktion? Muss das denn wirklich sein, oder reicht es einfach, wenn ich darauf hinweise, dass der Zähler im n-ten Reihenglied grösser ist als der Nenner für alle n aus N?

Ich weiss, dass es für viele von euch das "einfachste" in der Welt ist, aber ich hab noch nicht so viel Erfahrung mit Reihen. Noch nicht mal im Mathe LK an der Schule haben wir uns so excessiv mit Reihen beschäftigt, und das ist auch schon Jahre her.

21.10.2004, 15:58

Poff

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Muss das denn wirklich sein, oder reicht es einfach, wenn ich darauf hinweise, dass der Zähler im n-ten Reihenglied grösser ist als der Nenner für alle n aus N?

alle a_n >= 1
genau das reicht bei solch einer klar ersichtlichen Sache !!
.

21.10.2004, 16:36

Gast

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Zitat:

Original von eugen
Danke erstmal für die Antworten!

Wenn ich richtig verstanden habe, ist jedes Reihenglied dieser Reihe grösser/gleich als der zugehörige Index, heisst also z.B.:

1. Reihenglied>=1
2. Reihenglied>=2
.
.
.
n-tes Reihenglied>=n usw.

Schon aber es ist noch viel einfacher:
Jedes Reihenglied ist größer als 1 und das ist mehr als genug für Divergenz.
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Wähle $\begin{eqnarray*} n_{\epsilon}\in N \end{eqnarray*}$ , so daß $\begin{eqnarray*} n_{\epsilon}>\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n>n_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^na_k\geq n>n_{\epsilon}>\epsilon \end{eqnarray*}$

Noch deutlicher geht's nicht.

21.10.2004, 16:40

flixgott

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insgesamt ist deine argumentation richtig, anschaulich gesprochen: wenn du zu einem wert immer wieder was dazu addierst, was deutlich größer als null ist (wenn eben die summanden eben keine nullfolge sind) dann geht die summer gegen unendlich.
grundsätzlich besteht nicht der bedarf, dass die einzelnen summanden größer als ihr index sind, dann bei folgender reihe wirst du mir auch zustimmen, dass sie konvergiert, aber weder die summanden noch die partialsummenglieder sind größer als ihr index.
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty~ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
aber auch die konvergenz der summanden gegen null ist noch nicht hinreichen für die konvergenz der reihe wie folgendes beispiel zeigt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^ \infty~ \frac{1}{n} = \infty \end{eqnarray*}$

21.10.2004, 21:46

eugen

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Ok, danke sehr noch Mal!

Jetzt wird hier einiges klar, na ja es war schon immer klar. Mit ein wenig gesundem Verstand sieht jeder doch, dass n^n/n! gegen unendlich geht.

Mein Problem war lediglich, dass ich nicht wusste, ob ich den Beweis so formulieren darf.

Übrigens kann mir jemand noch an einem geeigneten Beispiel die Anwendung des Cauchy-Kriteriums erklären? Ich habe da einige Verständnislücken, obwohl ich die Stelle im Skript des Profs mindestens 20 Mal gelesen hab.

21.10.2004, 22:02

WebFritzi

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Anwendung des Cauchy-Kriteriums für Reihen: Zeige, dass jede absolut konvergente Reihe (die Reihe der Absolutbeträge der Folge konvergiert) konvergiert.

21.10.2004, 22:03

Poff

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Wenn lim(Folgenglieder) <>0 dann divergiert die Reihe immer

und wenn alle Folgenglieder >=1 muss auch lim >=1 und
ist damit <> Null . Punkt

die Summe ist immer >= n*1, aber das brauchst überhaupt nicht,
oder argumentierst damit, dann brauchst das mit lim<>0 nicht.
.

21.10.2004, 23:21

eugen

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ne ne, schon klar, für diesen einen Fall brauche ich den Trick nicht, aber vielleicht für andere.

21.10.2004, 23:35

Poff

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... allerdings, denn das hier war ja eher ein Witz als ein Fall . Augenzwinkern

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