Schnittwinkelberechnung von Ebenen

21.10.2004, 13:13

Ceres

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Schnittwinkelberechnung von Ebenen

Hallo, wir haben im Unterricht eine AUfgabe durchgenommen, die man nach folgender Formel berechnen könnte:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha =\frac{\mid n1*n2 \mid}{\mid n1 \mid *\mid n2 \mid } \end{eqnarray*}$

Im Zähler handelt es sich um das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren!!!!

Es sind zwei Ebenen in Normalenform gegeben und man soll den Schnicttwinkel dieser beiden berechne.

Hier mal die beiden Ebenen:

$\begin{eqnarray*} E1:[\vec{x}-\begin{pmatrix}(9\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}]* {\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E2: [\vec{x}-\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} ]*\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Könnte mir mal jemand erklären, wieso der Winkel zwischen diesen beiden Ebenen laut Lehrer 90 Grad betragen soll? Ich meine das nach der obigen Formel 57,.. Grad herauskommen muss. Wer hat da Recht?

Bitte um Hilfe, das war eine Klausuraufgabe die ich, wenn die obige Formel richtig ist, richtig berechnet habe, aber mir angestrichen wurde.

Vielen Dank schonmal

€dit by Steve: Du musst den Latex Code auch zwischen den entsprechenden Klammern schreiben smile

smile

[latex ] [/latex ] (je ohne Abstand)

21.10.2004, 15:47

navajo

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen

Zitat:

Original von Ceres
Hier mal die beiden Ebenen:

$\begin{eqnarray*} E1:[\vec{x}-(\begin{pmatrix}9\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix})]* {\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E2: [\vec{x}-(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}) ]*\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also wenn ich mich recht erinnere, dann ist der Vektor der jeweils rechts steht, ein Vektor der senkrecht auf der Ebene steht (Ich bin mir da aber unsicher! Müsste nicht eigentlich auch noch jeweils ein "=0" dahinter? verwirrt

verwirrt

) Also muss man nur den Winkel zwischen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\2\\1 \end{pmatrix}~und~ \begin{pmatrix}1 \\-2\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ausrechnen.

Aber man sieht, wenn man das Skalarprdodukt aus beiden ausrechnet, sieht man, dass dieses 0 ist (2*1+(-2*2)+2*1=0) . Also stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, also auch die Ebenen.

PS: wenn du deine Formeln mit "[latex]" und "[/late x]" (ohne leerschritt) umhüllst, sehen sie hier gleich viel schöner aus smile

smile

21.10.2004, 16:00

ceres

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen
ja schon, aber diese oben genannte Formel ist doch für die Schnittwinkelberechnung anwendbar oder nicht?

21.10.2004, 16:29

kikira

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen
diese zwei Ebenen lassen sich ganz einfach umformen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x - 9 \\ y \\ z \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} => 2x - 18 + 2y + z = 0 \end{eqnarray*}$

daher: 2x + 2y + z = 18

und weiters: $\begin{eqnarray*} daher: \vec{n}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das macht man mit der 2. Ebene ebenfalls und dann setzt man ein in die Formel:

$\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{ \vec{n1} * \vec{n2}} { \mid \vec{n1} \mid * \mid \vec{n2}\mid } \end{eqnarray*}$

und dann hat man den Schnittwinkel

21.10.2004, 16:40

ceres

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen
also wird im Zähler nicht noch extra der Betrag des Skalarproduktes gebildet?

Denn in meinem Mathebuch steht dies Formel mit Betrag des Skalarproduktres im Zähler!!!

21.10.2004, 16:43

kikira

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen
wenn du den Winkel zwischen 2 Ebenen berechnen willst, dann gilt meine obige Formel...wofür deine Formel ist, weiß ich nicht....schreib die mal hier auf...aber meine stimmt mit Sicherheit.

lg kiki

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21.10.2004, 17:08

ceres

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen
also ich habe hier mal das, was bei mir in meinem BUch mit Satz 3 markiert ist:

Für den Schnittwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zweier Ebenen mit den Normalenvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{n1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{n2} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = \frac{\mid\vec{n1}*\vec{n2}\mid }{\mid\vec{n1}\mid*\mid\vec{n2}\mid} \end{eqnarray*}$

\\EDIT by sommer87: [Latex] hinzugefügt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.10.2004, 17:12

ceres

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen
so in meinem Mathebuch steht das hier unter Satz 3:

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = \frac{\mid\vec{n1}*\vec{n2}\mid }{\mid\vec{n1}\mid*\mid\vec{n2}\mid} \end{eqnarray*}$

und nach dieser Formel habe ich das berechnet

21.10.2004, 18:46

kikira

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen
Das ist im Endeffekt die gleiche Formel, die ich habe.

Die Betragstriche im Zähler bedeuten nur, dass, wenn du die zwei Vektoren miteinander multiplizierst und da eine Minuszahl rauskommt, diese durch die Betragstriche positiv wird und das hat folgende Auswirkung:

Zeichne mal 2 Geraden, die sich schneiden auf. Zwischen den beiden Geraden gibt es 2 Schnittwinkel, die einander auf 180° ergänzen. Beide sind Schnittwinkel.

Wenn der Zähler in deiner Formel minus wird, dann wird der ganze Bruch minus.
Wenn der cos eines Winkels Minus ist, dann kommt ein Winkel zwischen 90 und 180° raus. Das heißt, wäre der Bruch minus, würdest du den 2. Winkel zwischen den beiden Ebenen errechnet haben. Den brauchst dann nur von 180° abziehen und du hast den kleineren Winkel. Beide Winkel sind aber gültige Winkel zwischen 2 Ebenen. Du kannst beide angeben, wenn du möchtest.
Deine Formel schließt nur aus, dass man den Winkel errechnet, der über 90° ist. Meine Formel gibt dir entweder den über 90° oder den unter 90°.

Hast verstanden?

lg kiki

P.S. Wenn die Aufgabenstellung aber so ist, dass du z.B. den Winkel zwischen der Seitenfläche und der Grundfläche einer Pyramide ausrechnen sollst, dann musst du den kleineren Winkel bekannt geben, sonst würde ja die Seitenfläche nach außen stehen und nicht zur Grundfläche geneigt sein.

21.10.2004, 20:30

bruns

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen
ich würde gerne mal sehen, wie du- wenn du die Vektoren in meine Formel einsetzt- die Rechenoperation ausführst. Denn bei mir kommt trotzdem bei der Bildung des Betrags im Zähler folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix} \mid = \mid\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \mid=\sqrt{4+16+4} \end{eqnarray*}$

@kiki stimmt das soweit mit deiner Rechnung im Zähler überein?

21.10.2004, 20:43

kikira

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen
Ui!!! da hast einen schweren Fehler:

Wenn man 2 Vektoren miteinander multipliziert, kommt kein Vektor heraus, sondern eine einzige Zahl!!!

2*1 + 2*(-2) + 1*2 = 0 ...0 hat eh kein Vorzeichen...aber wenn z.b. - 12 herausgekommen wär, dann wärs durch die Betragsstriche + 12 gewesen.

Verstehst jetzt?

kiki

P.S Nachdem der Zähler 0 ist, kommt sowieso beim ganzen Bruch 0 heraus.
daher:

cosalpha = 0

Und bei wieviel Grad ist der cos 0 cm lang? - bei 90°

daher stehen beide Ebenen im rechten Winkel aufeinander.

21.10.2004, 20:49

WebFritzi

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@Ceres: Das gehört aber nicht in die Rubrik "Höhere Mathematik". Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.10.2004, 20:50

Steve_FL

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und das ganze gehört mMn in die Geometrie Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.10.2004, 11:31

ceres

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen
@kiki: danke, das habe ich übersehen, da kommt natürlich eine Zahl raus. Dann ist es auch klar, dass ich das falsche ergebnis raus habe.

Kiki hast du auch ne email-addy, damit ich dir, wenn es weitere Probleme gibt, ne mail senden kann, weil ich nicht so oft ins netz kann!!??

Gruß ceres

23.10.2004, 13:33

kikira

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen
@ceres

Wenn du dich hier registrierst, kannst du mir ans Board gerne Mails schicken, indem du einfach den pn-button anklickst.

lg
kiki

23.10.2004, 23:07

riwe

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RE: Schnittwinkelberechnung von Ebenen

Zitat:

Original von ceres
also wird im Zähler nicht noch extra der Betrag des Skalarproduktes gebildet?

Denn in meinem Mathebuch steht dies Formel mit Betrag des Skalarproduktres im Zähler!!!

einfach ausgedrückt:
wenn im zähler 0 steht, ist der nenner egal
(wenn er nicht auch null ist)

in deinem beispiel hast du eh die sog. normal(en)vektorform der ebene, d.h. die beiden vektoren (2/2/1) und (1/-2/2) sind die normalenvektoren der 2 ebenen und 2*1 - 2*2 + 2*1 = 0

werner

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