Erweiterung des Zwischenwertsatzes auf +- Unendlich

21.10.2004, 20:01

therisen

Erweiterung des Zwischenwertsatzes auf +- Unendlich

Hi,
ist es ohne weiteres möglich, den Nullstellensatz auf das Intervall $\begin{eqnarray*} ]-\infty;+\infty[ \end{eqnarray*}$ zu erweitern?

Nullstellensatz:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} f:x\to f(x); \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \in D_f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} J\ [x_1; x_2] \end{eqnarray*}$ stetig und haben die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_2) \end{eqnarray*}$ an den Rändern des Intervalls verschiedene Vorzeichen, so gibt es mindestens einen Wert $\begin{eqnarray*} \xi \in J \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\xi) =0 \end{eqnarray*}$ .

Mein Lehrer hat das nämlich heute behauptet, mit der Begründung, dass $\begin{eqnarray*} ]-\infty;+\infty[ \end{eqnarray*}$ sowohl offen als auch abgeschlossen wäre, da es alle anderen Teilintervalle auch beinhaltet. Stimmt diese Begründung? Geometrisch ist die Sache klar, aber das zählt ja nicht.

Danke, therisen

21.10.2004, 20:08

WebFritzi

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LOL... Wie sollte denn bitte der "erweiterte" Nullstellensatz deines Lehrers lauten?

21.10.2004, 20:15

therisen

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So wie ich geschrieben habe, nämlich die Anwendung auf das offene Intervall -Unendlich; +Unendlich.

21.10.2004, 20:17

Leopold

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Ich verstehe auch nicht genau, was dein Lehrer meint. Aber vielleicht ist es ja das Folgende:

Gilt bei einer auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetigen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , daß die beiden Limites

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \, , \ \lim_{x \to -\infty} f(x) \end{eqnarray*}$

eigentlich oder uneigentlich existieren und verschiedene Vorzeichen haben, so besitzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mindestens eine Nullstelle.

Und das ist richtig. Typische Anwendung: Eine ganzrationale Funktion ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle.

21.10.2004, 20:20

WebFritzi

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Das führt man aber eben mit Leichtigkeit schnell wieder zurück auf den Zwischenwertsatz. Also nix neues.

21.10.2004, 20:24

Leopold

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So ist es. Das wäre doch eine hübsche Übungsaufgabe für einen Elftkläßler.

21.10.2004, 20:26

therisen

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Ja, so hat er das gemeint @ Leopold. Das ist lustig, auf meinen Einwand hin, dass der Zwischenwertsatz/Nullstellensatz (so wie er in der Formelsammlung steht) nur für geschlossene Intervalle gilt, hat er mir erst recht gegeben (wenn man es streng betrachtet) und dann angefangen, mit den Nullstellen im Komplexen zu argumentieren (mehrfaches Auftreten; es ging um eine kubische Funktion), dann aber sehr schnell abgebrochen weil er meinte das würde das Schulniveau sprengen traurig

Da sieht man's mal wieder, Schulmathematik... Danke euch beiden smile

Gruß, therisen

21.10.2004, 20:27

WebFritzi

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Das stimmt. Also los, therisen. Beweisen! Augenzwinkern

EDIT: Mit dem Komplexen kann man hier sicher nichts anfangen. Ich glaube, dein Lehrer wollte nur ein wenig angeben. Buschmann

22.10.2004, 14:17

therisen

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Ok ich probier's mal. Erscheint mir aber irgendwie zu einfach Hammer

Satz: Sei f eine auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetige und divergente Funktion deren Limites $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ unterschiedlich Vorzeichen haben. Dann besitzt f mindestens eine Stelle $\begin{eqnarray*} \xi \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\xi)=0 \end{eqnarray*}$ .

Beweis:

ObdA gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty\,\,\,\,(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\,\,\,\,(2) \end{eqnarray*}$
Aus $\begin{eqnarray*} (1) \end{eqnarray*}$ folgt: Es gibt ein c, so dass $\begin{eqnarray*} f(c)<0 \end{eqnarray*}$ ist.
Aus $\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$ folgt: Es gibt ein d, so dass $\begin{eqnarray*} f(d)>0 \end{eqnarray*}$ ist. Wegen des Nullstellensatzes gibt es daher ein $\begin{eqnarray*} \phi \in [c;d] \subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\phi)=0 \end{eqnarray*}$ . Somit ist bewiesen, dass f mindestens eine Nullstelle hat.

Gruß, therisen

22.10.2004, 20:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen
Aus $\begin{eqnarray*} (1) \end{eqnarray*}$ folgt: Es gibt ein c, so dass $\begin{eqnarray*} f(c)<0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wieso?

22.10.2004, 23:00

Mathespezialschüler

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Wegen der Definition der bestimmten Divergenz!

25.10.2004, 21:21

Mathespezialschüler

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Den Satz kann man ja sicher noch erweitern!

Satz: Sei f eine auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetige Funktion.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty} f(x)=a\in \mathbb R\ \wedge\ \lim_{x\to +\infty} f(x)=b\in \mathbb R\ \Rightarrow\ \mbox{f nimmt jeden Wert zwischen a und b an} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty} f(x)=\pm \infty\ \wedge\ \lim_{x\to +\infty} f(x)=b\in \mathbb R\ \Rightarrow\ \mbox{f nimmt jeden Wert}\ >b\ \mbox{bzw.}\ <b\ \mbox{an} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty} f(x)=a\in \mathbb R\ \wedge\ \lim_{x\to +\infty} f(x)=\pm \infty\ \Rightarrow\ \mbox{f nimmt jeden Wert}\ >a\ \mbox{bzw.}\ <a\ \mbox{an} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty} f(x)=\pm \infty\in \mathbb R\ \wedge\ \lim_{x\to +\infty} f(x)=\mp \infty\ \Rightarrow\ \mbox{f nimmt jeden Wert an} \end{eqnarray*}$

Aber da is der Beweis nich so einfach oder? verwirrt

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