Grenzwerte konvergenter rekursiver Folgen

21.10.2004, 18:10

KevinB

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Grenzwerte konvergenter rekursiver Folgen

Für euch sicher einfach, für mich aber nicht verständlich. Deshalb bitte ich um Hilfe:

$\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 2/5a_n - 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1=-2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = -2/3a_n + 4 \end{eqnarray*}$

21.10.2004, 18:23

Leopold

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Nicht verständlich. Was ist Klein-a, was bedeutet Groß-A?
Verwende LATEX, um mathematische Formeln zu schreiben.

So schreibst du z.B. $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2 \end{eqnarray*}$ :

a_{n+1}=2

Dann markieren und auf den f(x)-Knopf über dem Eingabefeld klicken und bestätigen. Für häufig vorkommende Ausdrücke hilft auch der Formeleditor (unten am Eingabefeld klicken).

21.10.2004, 18:26

WebFritzi

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Und wenn du's dann nochmal ordentlich hier reingeschrieben hast... Was willst du machen, und wo kommst du nicht weiter?

21.10.2004, 19:01

KevinB

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Nach dem 7 Versuch sollte es passen.... smile

smile

Ich soll daraus den Grenzwert der Folge bestimmen wenn die Existenz des Grenzwerts $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gesichert ist.

21.10.2004, 19:03

WebFritzi

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Heißt es nun (2/5)a oder 2/(5a) ?

Einen Bruch erstellst du übrigens so: \frac{5}{2}

21.10.2004, 19:22

Leopold

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Ich schreibe es noch einmal für dich auf:

$\begin{eqnarray*} a_0 = 0 \, , \ a_{n+1} = \frac{2}{5}a_n-2 \end{eqnarray*}$

oder doch so:

$\begin{eqnarray*} a_0 = 0 \, , \ a_{n+1} = \frac{2}{5a_n}-2 \end{eqnarray*}$

???

Tip: Klicke bei diesem Beitrag auf "Zitat". Dann siehst du, wie die Formeln geschrieben wurden.

EDIT: Wahrscheinlich ist es die erste Variante, denn bei der zweiten passiert schon beim Index 1 die Katastrophe.

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21.10.2004, 19:33

KevinB

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Zitat:

Original von Leopold
Ich schreibe es noch einmal für dich auf:

$\begin{eqnarray*} a_0 = 0 \, , \ a_{n+1} = \frac{2}{5}a_n-2 \end{eqnarray*}$

oder doch so:

$\begin{eqnarray*} a_0 = 0 \, , \ a_{n+1} = \frac{2}{5a_n}-2 \end{eqnarray*}$

???

Tip: Klicke bei diesem Beitrag auf "Zitat". Dann siehst du, wie die Formeln geschrieben wurden.

EDIT: Wahrscheinlich ist es die erste Variante, denn bei der zweiten passiert schon beim Index 1 die Katastrophe.

Bei beiden Fällen ist es die erste Version!

21.10.2004, 19:40

Leopold

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Bei solchen Aufgaben ist es ein Kinderspiel, den Grenzwert auszurechnen. Stelle dir einmal Folgendes vor:

Die Folge soll einen Grenzwert haben. Dann ist doch z.B. zwischen $\begin{eqnarray*} a_{100} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{101} \end{eqnarray*}$ und dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ praktisch kein Unterschied mehr auszumachen. Es muß bei der ersten Folge gelten:

$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{2}{5}\alpha - 2 \end{eqnarray*}$

Und daraus kann man $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

DIE SACHE HAR ALLERDINGS EINEN HAKEN.
Es funktioniert nur, wenn die Folge konvergent ist. Und das muß zuerst nachgewiesen werden.

21.10.2004, 19:41

WebFritzi

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OK, jetzt zur Aufgabe. Sagen wir, a ist der Grenzwert. Was passiert dann auf den beiden Seiten deiner Rekursionsgleichung, wenn n gegen Unendlich geht?

21.10.2004, 20:00

KevinB

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Ich hab leider keine Ahnung, wir sollten uns dieses thema selbst erarbeiten und ich hab´s nicht verstanden.

21.10.2004, 20:06

WebFritzi

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Hmm? Mach doch erstmal das, was Leopold dir gesagt hat. Das ist doch unmissverständlich.

21.10.2004, 20:18

KevinB

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Die Lösung müsste sein 5.

21.10.2004, 20:20

Leopold

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Bei der ersten Aufgabe kriege ich $\begin{eqnarray*} -3,\overline{3} \end{eqnarray*}$ .

21.10.2004, 20:24

KevinB

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Das -3,3 rauskommen soll weiß ich, aber nicht wie man drauf kommt.

21.10.2004, 20:38

Leopold

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Lies dir meinen vorigen Beitrag genau durch und löse nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf.

21.10.2004, 20:43

KevinB

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Wie gesagt ich komme beim auflösen auf 5, weiß aber das du recht hast......

21.10.2004, 20:47

Leopold

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Auf beiden Seiten minus 2/5 mal alpha. Dann die Gleichung mit 5/3 durchmultiplizieren.

21.10.2004, 20:54

KevinB

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Danke!!!

21.10.2004, 21:19

Leopold

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Für die erste Folge existiert übrigens die explizite Darstellung

$\begin{eqnarray*} a_n = -\frac{10}{3} \cdot \left( 1-\left(\frac{2}{5}\right)^n \right) \end{eqnarray*}$

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