surjektiv, injektiv...?

21.10.2004, 22:08	xxyy	Auf diesen Beitrag antworten »
surjektiv, injektiv...? Hallo, die Aufgabe mit der ich Probleme habe lautet wie folgt: Es seien f: X --> Y und g: Y --> Z zwei Abbildungen. a) Es sei g * f injektiv. Zeigen Sie, dass f injektiv ist. Folgt auch, dass g injektiv ist ? (Beweis oder Gegenbeispiel.) g * f ist doch das gleiche wie g(f(x)), oder? Dann müssen g und f beide injektiv sein? Sonst wenn f injektiv und g nicht injektiv, dann bekommen wir: Sei f(x1) ungleich f(x2), dann g(f(x1)) ungleich g(f(x2)) und das ist nur möglich, wenn g auch injektiv ist. Liege ich richtig oder falsch? ----- Hatte eben paar Fehler drin: ungleich wurde nicht dargestellt und das * bei g * f
21.10.2004, 22:12	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
eigentlich schon!
21.10.2004, 22:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum ersten: Beginne mit $\begin{eqnarray} f(x)=f(x') \end{eqnarray}$ und lasse $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auf diese Gleichung los. Zum zweiten: Wähle $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ nicht injektiv, so daß aber $\begin{eqnarray} g \left. \right\| f(X) \end{eqnarray}$ injektiv ist.
23.10.2004, 18:38	xxyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch mal. Nach Absprache mit anderen glaube ich dass es richtig so ist. Jetzt habe ich aber ein größeres Problem bei folgender (ähnlichen) Aufgabe. Es seien f: X --> Y und g: Y --> Z zwei Abbildungen. b) Es sei g * f surjektiv. Zeigen Sie, dass g surjektiv ist. Folgt auch, dass f surjektiv ist ? (Beweis oder Gegenbeispiel.) Ist der Beweis, dass g surjektiv ist so ok ? $\begin{eqnarray} \forall z\in Z \exists y\in Y, so dass f(y) = z. \end{eqnarray}$ Und wie kann ich am besten zeigen bzw. widerlegen, dass f auch bzw. nicht surjektiv ist?
23.10.2004, 18:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
b) würde ich durch Widerspruch zeigen. Angenommen, $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ wäre nicht surjektiv. Dann könnte man mit $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ nicht jedes Element von Z erreichen. Wie sollte das aber mit $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ dann gehen, wo doch hier $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ zuletzt angewendet wird?
24.10.2004, 13:59	xxyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, als ich mir das Skript zur Vorlesung nochmal durchgelesen habe, habe ich mich das auch gefragt. Das müsste als Beweis bzw. Gegenbeispiel reichen oder? Klingt wie ich finde als Begründung plausibel.
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24.10.2004, 14:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auch plausibel. Es kann aber sein, daß du an irgendwelche Formalritter gerätst, die da gerne so etwas hätten: "Es gibt ein z, so daß ... für alle x mit der Eigenschaft ... ein y existiert ... mit der Eigenschaft ... so daß ein w existiert ... so daß für alle t es gibt für alle für alle es gibt für kein es gibt kein für alle alle alle alle alle alle alle meine Entchen schwimmen auf dem See"
24.10.2004, 22:35	xxyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ich bei der Aufgabe ganz vergessen (übersehen habe) ist, dass man zeigen oder beweisen soll, ob f auch surjektiv sein muss. Ist es ähnlich wie bei der Injektivität?

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