vollständige induktion

22.10.2004, 16:42

quibb

vollständige induktion

Hab mir den workshop mal angeschaut und es versucht nach dem schema zu lösen... aber irgentwas klappt da nicht ;]

zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

meine lösung...:

IA: n = 1

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1~k = \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{1+1} \end{eqnarray*}$

IV: n >= 1

zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$

( wobei das n = n + 1 )

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = ( \sum_{k=1}^n~k ) + (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{n+1} + (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{n+1} + \frac{n^{2}+2n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n^{2}+3n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

w.z.b.w. ??? ;]

vielleicht versteh ich auch das ganze system einfach falsch. ich danke schonmal für ne verbesserung!

22.10.2004, 16:53

Mathespezialschüler

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RE: vollständige induktion

Zitat:

Original von quibb
zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$

( wobei das n = n + 1 )

Dann schreib doch für n auch n+1! Außerdem ist das Glied jeweils nicht k, sondern $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$ !! Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von quibb
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = ( \sum_{k=1}^n~k) + (n+1) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, erstmal muss links natürlich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$ stehen und dann musst du auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n~\frac{1}{k(k+1)}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ schreiben! Augenzwinkern

22.10.2004, 16:54

rad238

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Ja genau. Außerdem soll vielleicht das

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{k \cdot (k+1)} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

bewiesen werden?

Gruß
rad238

22.10.2004, 17:03

Leopold

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Tja, eine falsche Formel kann man natürlich auch nur mit einem falschen Beweis beweisen ...

22.10.2004, 17:17

quibb

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ach was weiss ich ;] ich raff das nich

vielen dank für die hilfe!

22.10.2004, 17:22

eule

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RE: vollständige induktion
Hab begonnen auszubessern war aber zu langsam^^. Daher nur weil er er so schön ist noch ein anderer Beweis:

zZ:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun ist
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

und damit lautet die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1}-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4 }+... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}- = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun fallen alle Summanten bis auf den ersten und den letzten weg und damit:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

22.10.2004, 22:12

Mathespezialschüler

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@quibb
Denkst du, wir lösen es dir? Wir wollen hier nur Tipps geben, du sollst selber aktiv werden, damit du auch was lernst! Augenzwinkern

Also hast du jetzt ne Idee zu dem Induktionsbeweis, nachdem wir erstmal verbessert haben??

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