Negation von Quantifikatoren

22.10.2004, 19:05

Moeki

Negation von Quantifikatoren

$\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ t $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ m $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ n (n > m $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ a $\begin{eqnarray*} _n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ )

m,n,t $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
a $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Bezüglich dieser Formel hätte ich zwei Fragen.

1) Wie liest man sie?

Für alle t , für ein m und für alle n gilt : aus n > m folgt, dass der Betrag von an kleiner ist als 1 durch t. ??? was ist denn bitteschön a jetzt?

2) Wie bildet man die Negation? $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ davor setzen wird wohl nicht reichen.

Danke für eure Hilfe.

22.10.2004, 19:14

Tobias

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Zuerst einmal kann man den ganzen Ausdruck in Latex formulieren. Dadurch wird es wesentlich einfacher zu lesen:

$\begin{eqnarray*} \forall t \in \mathbb{N} \; \exists m \in \mathbb{N} \; \forall n \in \mathbb{N}\; : \; (n > m \Rightarrow |a^n| < \frac{1}{t}) \end{eqnarray*}$

Zu jedem t aus N existiert ein m aus N, so dass für alle n aus N gilt ...

Die Negation bildet man, indem man alle All-Quantoren in Existenzquantoren ersetzt und umgekehrt und den Ausdruck rechts auch noch negiert.

22.10.2004, 19:27

Leopold

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Müßte nicht |a|<1 sein, damit das richtig ist?

22.10.2004, 20:03

Moeki

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$\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ t) $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ t)

$\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ n) $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ n)

$\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ m) $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ m)

also ...

$\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ t) $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ m) $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ n) (n > m $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ a $\begin{eqnarray*} _n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ )

oder muss ich die Formel hinter den Quantifikatoren auch noch verändern?

22.10.2004, 20:07

Leopold

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Du kannst keine Variablen negieren, sondern nur Aussagen. So etwas wie $\begin{eqnarray*} \neg \, t \end{eqnarray*}$ , wenn t eine Variable ist, gibt es nicht.

22.10.2004, 21:03

Moeki

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$\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ t $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ m $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ n (n > m $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ a $\begin{eqnarray*} _n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ )

So in etwa? Muss ich den rechten Ausdruck auch negieren oder ist das so komplett richtig?

22.10.2004, 21:45

Leopold

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Es fehlt noch die Negation der Aussage:

$\begin{eqnarray*} \exists t \in \mathbb{N} \; \forall m \in \mathbb{N} \; \exists n \in \mathbb{N}\; : \; \neg \, (n > m \Rightarrow |a^n| < \frac{1}{t}) \end{eqnarray*}$

was man auch so schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} \exists t \in \mathbb{N} \; \forall m \in \mathbb{N} \; \exists n \in \mathbb{N}\; : \; ( \, n > m \, ) \, \wedge \, ( \, |a^n| \geq \frac{1}{t} \, ) \end{eqnarray*}$

27.10.2004, 19:26

Moeki

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Zitat:

Original von Leopold
Es fehlt noch die Negation der Aussage:

$\begin{eqnarray*} \exists t \in \mathbb{N} \; \forall m \in \mathbb{N} \; \exists n \in \mathbb{N}\; : \; \neg \, (n > m \Rightarrow |a^n| < \frac{1}{t}) \end{eqnarray*}$

was man auch so schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} \exists t \in \mathbb{N} \; \forall m \in \mathbb{N} \; \exists n \in \mathbb{N}\; : \; ( \, n > m \, ) \, \wedge \, ( \, |a^n| \geq \frac{1}{t} \, ) \end{eqnarray*}$

Eine letzte Frage:

n > m ist richtig, ja? wird also nicht geändert bei der negation?

27.10.2004, 19:58

Leopold

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Die Implikation $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \ \Rightarrow \ \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ ist gleichwertig mit $\begin{eqnarray*} \neg \mathfrak{A} \vee \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ oder nach de Morgan auch mit $\begin{eqnarray*} \neg (\mathfrak{A} \wedge \neg \mathfrak{B}) \end{eqnarray*}$ .

Und wenn du bei der zweiten Variante jetzt noch einmal negierst, findest du, daß $\begin{eqnarray*} \neg (\mathfrak{A} \ \Rightarrow \ \mathfrak{B}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \wedge \neg \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ gleichwertig ist.

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