Symmetrische Differenz

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Danny4check Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Differenz
Also ich habe folgendes Problem...ich muss zeigen, dass
A°B=(A\B)u(B\A) für alle A,B element M (also die Symmetrische Summe) eine
kommutative Gruppe ist!

> Also neutrales Element ist die leer Menge, Inverses ist für A, A selbt,
für
> B, B selbst usw. Dass die Gruppe kommutativ ist, ist auch klar, kann ich
> auch leicht zeigen, aber mein Problem liegt bei der Assoziativität. Was
ich
> bereits habe:
>
> zu zeigen ist:
> (A°B)°C=A°(B°C)
>
> Dann forme ich so lange (und vielleicht auch zu kompliziert) um bis ich
> folgendes bekommen habe:

[A durcschnitt (M\B) durch. (M\C)] verein. [ B durch. M\A durch. M\C]
verein. [ C durch. M\A durch. M\B] verein. [A durch. B durch. C]

> Dass ist ja die Vereinigung aller "Einzelsegmente" ohne dass die
Reihenfolge
> eine Bedeutung hätte, das heißt ich könnte jetzt wieder zusammenfassen und
> sagen: Das ist das gleiche wie:
(A ver. (B°C))\(A durch. (B°C))= A°(B°C)

Die KOmmutativität habe ich ja vorher schon gezeigt, aber irgendwie scheint
mir das noch kein vollständiger Beweis zu sein...fehlt mir da noch etwas
odere ist irgendwo ein Fehler drinnen oder ist es möglich, dass das wirklich
schon genügt?

2. Stelle für M={1,2} eine Verknüpfungstafel für diese Gruppe auf...nun ja
das Problem ist, dass ich ein Doppelstudium habe und deshalb nicht in jeder
Vorlesung anwesend bin und deshalb nicht mal wirklich weiß, was eine
Verknüpfungstafel ist...ich habe es zwar im Skript nachgelesen, aber kann es
dann nicht wirklich auf das Beispiel ummünzen:

Was mir klar zu sein scheint (hoffe ich):
1 mit 1 ist 0
2 mit 2 ist 0
weil die gleichzeitig das Inverse sind.
Aber was passiert bei
1 mit 2 und 2 mit ein
Meines Verständnisses nach, müsste da beide Male 1,2 herauskommen, weil das
ja disjungte Mengen sind und sich daher die (symmetrische) Differenz nicht
auswirkt, aber das ist laut Skript immer nur ein Element und nicht zwei..

Könnte mir da bitte jemand helfen, dass ich das für dieses Beispiel mal
kapier und mir dann die anderen mit diesem Wissen durcharbeiten kann...das
wäre echt nett von euch!

Liebe Grüße,
Danny.

Hilfe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für die symmetrische Differenz würde ich die folgende Darstellung verwenden (der Überstrich bezeichne das Komplement):



Mit de Morgan und dem Distributivgesetz folgt dann wegen :




Und jetzt geht es los:





Und wenn man diesen Term betrachtet, so stellt man fest, daß der letzte Summand der Schnitt von A,B,C ist, die ersten drei Summanden Dreierschnitte mit jeweils zwei Komplementbildungen.

Jetzt berechne analog den Term - oder noch einfacher: Wende das Kommutativgesetz an und vertausche zyklisch: B statt A, C statt B, A statt C.
Danny4check Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]X \triangle Y = (X \cap \overline{Y}) \cup (\overline{X} \cap Y)[latex] geht nicht bei einer Obermenge M.

Beides sind untermengen der Menge M und bei dieser Definition wird der Komplementraum [latex]\overline{X \cap Y}[latex] nicht ausgeschlossen.
Der_Knuff Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hab ein ähnliches Problem, bei dem ich nicht mal weiß was ich genau machen muss! verwirrt

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei M eine Menge und die Potenzmenge.
Überprüfen sie, ob folgende Verknüpfungen
--->
leweils eine Gruppenstruktur auf induzieren:

1) (A,B) |---> A durchschnitt B
2) (A,B) |---> (A und B)\ (A durchschnitt B) .

Soll ich jetzt zeigen, dass eine Gruppe mit der Verknüpfung "durchschnitt" ist?? Und wie mach ich das am besten?? Hilfe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Tip: Bei 1) liegt keine Gruppe vor.

Und bist du sicher, daß 2) richtig ist? Denn stets ist . Umgekehrt würde es passen: Mit der Definition bekommst du eine Gruppenstruktur. Das ist nämlich nichts anderes als die symmetrische Differenz aus den vorigen Beiträgen. Zeichne ein Venn-Diagramm, und es wird sofort klar.
Der_Knuff Auf diesen Beitrag antworten »

Also das 1) nicht geht, dacht ich mir auch schon, aber irgendwie nur, weil ich einiges nicht zeigen konnte! *g*
Also bei mir scheitert es zumindest am neutralen Element, kann das richtig sein?? Oder scheitert es sonst wo noch so offensichtlich?

Bei 2) war es die 2. Definition, ich hab mich nur verschrieben... und wie sieht das hier mit dem neutralen Element aus? Ach und, was ist ein Venn-Diagramm?? verwirrt
 
 
faulix Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe ich es richtig, dass man für die Kommutativität der symmetrischen Summe einfach nur folgendes zeigen muss:



Denn hier kann ich ja bereits das Kommutativgesetz auf die Klammern anwenden und schon steht der ganze Ausdruck anders herum da. Reicht das?

Möchte ich zeigen, dass es ein neutrales Element gibt, so reicht doch eigentlich folgender Beweis:


Bei dem inversen Element (es selbst) kann ich doch wie bei dem neutralen Element vorgehen und einfach bei beidem A einsetzen und zeigen dass eine leere Menge herauskommt.

Oder mache ich mir es da generell zu einfach?
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