Konvexität

17.03.2007, 12:20	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvexität Aufgabe: Dateianhang a) Da habe ich raus: $\begin{eqnarray} g_\alpha = e^xx^{-\alpha} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_\alpha ' = e^x(x^{-\alpha }-\alpha x^{-\alpha -1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_\alpha '' = e^x(x^{-\alpha }-2\alpha x^{-\alpha -1}+(\alpha^2+\alpha)x^{-\alpha -2}) \end{eqnarray}$ Kann man das noch vereinfachen, oder hat vll jemand was anderes raus? Konvexität: Ich habe versucht zu beweisen dass die 2. Ableitung immer positiv ist. Allerdings weiß ich nicht wie ich in diesem Schritt weiterkomme: zz: $\begin{eqnarray} (\alpha^2+\alpha)-2\alphax+x^2\geq 0 \end{eqnarray}$ b) 1. Abeitung gleich Null setzen. Daraus folgt Extremstelle bei $\begin{eqnarray} x = \alpha \end{eqnarray*}$ und da ich vermute dass die Funktion Konvex ist, sollte es ein Minimum sein. c) Habe ich noch keinen Ansatz gefunden. Wäre nett wenn mir jemand helfen würde.
17.03.2007, 15:13	zt	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei a) kannst du zBsp. noch $\begin{eqnarray} x^{-(\alpha+1)} \end{eqnarray}$ (bei g'(x)) ausklammern. Edit: $\begin{eqnarray} g''_{\alpha}(x)=e^{x}\cdot{x^{-(\alpha+2)}}\cdot \left(x^2-2\alpha{x}+\left({\alpha}^2+\alpha\right)\right) \end{eqnarray}$
17.03.2007, 19:26	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvexität So bin ich auch drauf gekommen, dass man für die Konvexität nur noch das: zz: $\begin{eqnarray} (\alpha^2+\alpha)-2\alphax+x^2\geq 0 \end{eqnarray*}$ beweisen muss. Bleibt die Frage: Wie? :P
17.03.2007, 19:30	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
wie wärs mit 2. Binomischen Formel?
17.03.2007, 21:29	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
manchmal könnte ich mich selbst erschießen. Danke wenn jetzt noch einer mit der c) hilft, wäre das einfach super
18.03.2007, 15:20	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
kann man da iwie mit dem Satz vom Wachstum arbeiten?
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19.03.2007, 10:51	Cliff Barnes	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach a.) und b.) weisst Du, dass alle $\begin{eqnarray} f_\alpha \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x=\alpha \end{eqnarray}$ ein globales Minimum haben. Wegen $\begin{eqnarray} f_\alpha(x) \geq 1 \Leftrightarrow e^x \geq x^\alpha \end{eqnarray}$ genügt es zu untersuchen wann $\begin{eqnarray} f_\alpha(\alpha)\geq1 \end{eqnarray}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray} f_\alpha(\alpha) \geq 1 \Leftrightarrow \left( \frac{e}{\alpha}\right)^\alpha \geq1 \Leftrightarrow \frac{e}{\alpha}\geq 1\Leftrightarrow e \geq \alpha \end{eqnarray}$ .
19.03.2007, 12:15	Dr4gonclaw	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schön

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