Berechnungen an der Pyramide

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Ricky5556 Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnungen an der Pyramide
Hi Leute kann mir jemand bei der folgenden aufgabe helfen?

1) Betrachte eine quadratische Pyramide mit Acht gleichen Kantenlängen a=s= 6 cm.

a) Berechne die Längen der Seitenhöhe hs und der Körperhöhe h.

b) Berechne den Inhalt der Mantelfläche und dasVolumen dieser Pyramide.

2) Setzt man zwei kongruente Pyramiden der in der vorigen aufgabe geschilderten Art mit den Grundflächen aufeinander, so erhält man einen Körper der aus acht gleichseitigen Dreiecken besteht.

a) Ein schrägbild erhältst du, wenn du im Schrägbild eines Würfels die Flachenmittelpunkte als Ecken des Oktaeders wählst.

b) Welchen Bruchteil des Würfelvolumens aus a) nimmt der Oktaeder ein?



P.s. schonmal danke im voraus
nichtregistriert Auf diesen Beitrag antworten »

a) (Pythagoras):
hs^2=(a/2)^2+s^2=5/4*a^2 -> hs.
b)Diagonale in der Grundseite: d^2=2*a^2. -> d
Höhe: h^2= (d/2)^2+a^2 -> h.
b) folgt aus a mit formelsammlung für dreieck / pyramide.

2) der würfel hat eine kantenlänge von 2hs?!?
wenn dem so ist: Vrel = ((2hs)^2-V_aus_b)/((2hs)^2)*100%(optional).
 
 
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »

hey nichtregistriertBig Laugh

registrier dich mal damit wir auch wissen wer hier so schlau istBig Laugh
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht wären Erklärungen nicht schlecht Augenzwinkern

Also:
Eine(quadratische) Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat.
Dieses Quadrat hat die Seitenlänge a = 6
Die Kanten nach oben der Pyramide haben die Länge s = 6
a = s

das geht aus der Aufgabe hervor

wir müssen jetzt also mal zuerst die Höhe eines Seitendreieckes berechnen.
Das Dreick ist Gleichseitig mit der Länge 6

Wenn man das Dreieck in der Höhe aufteilen würde, hätte man also 2 Dreiecke mit 1* 6 als Seitenlänge a (und a') eine Seite a/2 und eine Seite h als höhe des Ursprungsdreieck.

Nun die Hypothenuse ist die Seite s.
Also ist die Höhe laut Pythagoras:
a^2 - (a/2)^2 = hs^2
3/4 a^2 = hs^2
hs = sqrt(3) * 1/2 * a
hs = 3 * sqrt(3)
hs = 5.196

das war die Höhe der Seitenflächen.
Die Höhe der Pyramide ist innerhalb.
Da muss man zuerst die Diagonale der Grundfläche halbieren und den Mittelpunkt dann als Punkt benutzen an dem die Höhe angebracht ist.
Dann haben wir wieder ein rechtwinkliges Dreieck und Pythagoras hilft wieder:
s^2 - (halbe Diagonale)^2 = h^2

die halbe Diagonale kommt auch durch den Pythagoras zustande:
ein Quadrat wird in 2 gleich grosse Dreiecke unterteilt, die je die Kathetenlänge a haben und eine Hypothenuse b

a^2 + a^2 = b^2
2a^2 = b^2
b = sqrt(2)*a

das ist also die Diagonale.
Und das halbiert wäre dann:
sqrt(2) * a/2

das können wir jetzt einsetzen:
s = a:
a^2 - (sqrt(2)*a/2)^2 = h^2
a^2 - 2*a^2/4 = h^2
a^2 - a^2/2 = h^2
h^2 = a^2/2
h = a/sqrt(2)
h = 6/sqrt(2)
h = 4.243

und nun noch die Mantelfläche:
wir haben 4 gleiche Dreiecke.
Also können wir eines ausrechen und das dann mal 4 rechnen:
die Fläche eines Dreieckes rechnen wir so:
Basis * Höhe * 1/2

Die Höhe dieser Dreiecke (hs) haben wir und die Grundseite (Basis) ist a

also a*hs*1/2
a * (sqrt(3)*a*1/2) * 1/2

sqrt(3) * a^2 * 1/4
sqrt(3) * 36/4
sqrt(3) * 9 = 15.588

und das Volumen der Pyramide:
Grundfläche * Höhe * 1/3
Grundfläche = a^2
Höhe = a/sqrt(2)

a^2 * a/sqrt(2) * 1/3
a^3/(3*sqrt(2))

V = 216/(3*sqrt(2))
V = 50.912

was du in der zweiten Aufgabe willst versteh ich nicht ganz.
Hast du da ne Skizze dazu?

mfg
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Ich geh mal davon aus, dass die Flächenmittelpunkte des Würfels die Eckpunkte des Oktaeders sein sollen. Es werden also die Ecken des Würfels weggeschnitten. Was übrigbleibt, ist dann gesucht.
Ricky5556 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.

@Steve FL

Setzt man zwei kongruente Pyramiden der in der vorigen aufgabe geschilderten Art mit den Grundflächen aufeinander, so erhält man einen Körper der aus acht gleichseitigen Dreiecken besteht.
logisch.

Nur soll ich jetzt ausrechnen wie viel Prozent das Oktaeder in einem Würfel einnimmt.

Und die Frage ist wie soll ich das machen?

p.s. schonmal vielen dank an alle.
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Zeichne dir doch einmal die Grundfläche der Pyramiden auf - von oben auf den Würfel gesehen. Die Höhe ist doch wohl die halbe Würfelhöhe?
Die Kantenlänge des Würfels nennst du "a". Dann kannst du V(a) sowohl von Oktaeder und Würfel bestimmen und miteinander vergleichen.
johko
Ricky5556 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Leute sagt mal kann es mit 16,7% hinkommen?
Ricky5556 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Leute so hab jetzt die Lösung dazu und zwar das volumen eines Oktaeders ergibt sich ja aus das doppelte einer quadratischen pyramide, oder? verwirrt :]

Die höhe einer quadratischen pyramide (körperhöhe) ist ja die Hälfte von der Körperhöhe eines Würfels. Um jetzt das Volumen zu berechnen muss ich die höhe der quadratischen Pyramide verdoppeln. die höhe des Würfels = die strecke a vom würfel.

Nach dem ich as Volumen raus habe (608,50cm³) und das Volumen vom oktaeder (101,82cm³) stelle ich die gleichung 101,82 * 100 / 608,50 = 16,7%. Und somit habe ich das Ergebnis.

Und jetzt erstmal einen schönen dank für eure Hillfe.

Ricky5556
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Au weia:
Das Ergebnis stimmt, aber die Erklärung nimmt dir der Pauker ohne Tafelanschrieb nicht ab.
Stell dir das doch einmal bildlich vor: Eine doppelt so hohe Pyramide hat doch kein doppelt so hohes Volumen.
Es reicht doch, wenn sich der Pauker mißverständlich ausdrückt. Augenzwinkern
Die Grundfläche der Pyramide siehst du leicht aus der empfohlenen Skizze: Sie ist (1/2)a².Das Volumen ist somit: (1/3)*(1/2)a²*(1/2)a=(1/12)a³. das muss ich verdoppeln und erhalte (1/6)a³.(~16,7%)

Johko
Ricky5556 Auf diesen Beitrag antworten »
Sorrry
Also ich glaub ich hab ein wenig müll geschrieben ich meinte wenn du an der grundfläche einer quadratischen Pyramide noch eine quadratische pyramide an anhängst so ergibt es doch das doppelte volumen, oder? wenn man bei einem oktaeder nur das Volumen von einer der beiden pyramiden berechnet so ist es doch die hälfte von dem Volumen des Oktaeders oder?

Sorry hab mich ein wenig dumm angestellt mit dem formulieren. Gott Augenzwinkern
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Nuu isses recht so .. 8)
Sonst denkt der Pauker noch "Woher hat der das bloß ..?"
Johko
chris6 Auf diesen Beitrag antworten »
mathe
kann mir jemand helfen bei der aufgabe: ein blechdach hat die form einer quadratischen pyramide mit lauter gleich langen kanten. seine spitze liegt 4,25m über der grundfläche.
a) wie viel m2 blech ben;tigt man, wenn man 8% verschnitt yu erwarten hat.


BITTE HELFT MIR

danke schonmal
gast234 Auf diesen Beitrag antworten »

machst den oberflächeninhalt in taschenrechner und dann auf - 8%^^
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