Beweis mit dem Whitehead Russel'schen Axiomensystem

23.10.2004, 11:02	AoG	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit dem Whitehead Russel'schen Axiomensystem Hallo Angeblich kann man mit dem Whitehead Russel'schen Axiomensystem die Allgemeingültigkeit (alles Wahr) von Aussagen (ak) beweisen können also z.B. das (P und Q) -->(P oder Q) allgemeingültig ist. Das WR System besteht aus verschiedenen Axiomen und Regeln, verstehe aber nicht wie ich diese anwenden soll, um nen Beweis durchzuführen. Leider gibt es im I-Net nicht viele Informationen, vieleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.
23.10.2004, 21:22	slyck	Auf diesen Beitrag antworten »
Also beim Whitehead Russel'schen Axiomensystem hat man die folgenden Axiome: $\begin{eqnarray} (1) \frac{}{(\alpha \vee \alpha) \rightarrow \alpha} \quad \quad(2) \frac{}{\alpha \rightarrow (\alpha \vee \beta)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (3) \frac{}{(\alpha \vee \beta) \rightarrow (\beta \vee \alpha)}\quad \quad (4) \frac{}{(\alpha \rightarrow \beta) \rightarrow ((\gamma \vee \alpha) \rightarrow (\gamma \vee \beta))} \end{eqnarray}$ und diese Regeln: $\begin{eqnarray} (R1) \frac{\alpha, \alpha \rightarrow \beta}{\beta} \quad \quad (R2) \frac{\alpha}{E(\frac{\beta \rightarrow \gamma}{\neg\beta \vee \gamma}, \alpha)} \quad \quad (R3) \frac{\alpha}{E(\frac{\neg\beta \vee \gamma}{\beta \rightarrow \gamma}, \alpha)} \end{eqnarray}$ E(a/b,c) bedeutet, daß in c eine (Teil)formel a ist, und durch b ersetzt wird. Also z.B. E(p/q, p --> q) = (q --> q) Alle Aussagen, die man nur aus diesen Axiomen und Regeln gewinnen kann, sind wahr. Relativ einfach wird es, wenn du weitere Regeln benutzt: aus (1) folgt z.B. die Regel $\begin{eqnarray} \frac{\alpha \vee \alpha}{\alpha} \end{eqnarray}$ Hat man jetzt eine Formel, z.B. $\begin{eqnarray} (p \vee q) \vee (\neg p \rightarrow q) \end{eqnarray}$ kann man mit (R3) diese zu $\begin{eqnarray} (p \vee q) \vee (p \vee q) \end{eqnarray}$ folgern, und dann mit der neuen Regel zu $\begin{eqnarray} p \vee q \end{eqnarray}$ Was man nun machen muß, ist nur mit den Axiomen und den Regeln die Aussage zu beweisen. Hilft dir das ein bißchen?
23.10.2004, 23:25	AoG	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Super Danke, das hilft auf jeden Fall, aber mir ist noch nicht ganz klar wie ich mit Hilfe der Axiome und Regeln die Allgemeingültigkeit von Aussagen beweisen kann. ich kann Allgemeingültigkeit mit Wahrheitstabellen oder mit der KNF bzw. DNF zeigen, aber ich komme mit den WR System noch nicht klar. Aber auf jedenfall erstmal schönen Dank für die Antwort.
24.10.2004, 15:26	slyck	Auf diesen Beitrag antworten »
Mmh, ich versuchs mal an nem Beispiel, vielleicht wirds dir dann klarer. Mit solchen Kalkülen zu arbeiten ist auch recht kompliziert, weil es halt keinen vernünftigen Algorithmus gibt, sondern vor allem Erfahrung und scharfes hingucken helfen. Also sagen wir mal, wir wollen die Tautologie p --> (q --> p) ableiten. Die Ableitungsschritte sehen so aus (ich lass die Substitutionen weg, ich hoffe die sind klar): 1. $\begin{eqnarray} (p \vee \neg q) \rightarrow (\neg q \vee p) \end{eqnarray}$ (Axiom 3) 2. $\begin{eqnarray} ((p \vee \neg q) \rightarrow (\neg q \vee p)) \rightarrow ((\neg p \vee(p \vee \neg q)) \rightarrow (\neg p \vee (\neg q \vee p))) \end{eqnarray}$ (Axiom 4) 3. $\begin{eqnarray} (\neg p \vee (p \vee \neg q)) \rightarrow (\neg p \vee (\neg q \vee p)) \end{eqnarray}$ (Regel R1 auf 1. und 2.) 4. $\begin{eqnarray} p \rightarrow (p \vee \neg q) \end{eqnarray}$ (Axiom 2) 5. $\begin{eqnarray} \neg p \vee (p \vee \neg q) \end{eqnarray}$ (Regel R2 auf 4.) 6. $\begin{eqnarray} \neg p \vee (\neg q \vee p) \end{eqnarray}$ (Regel R1 auf 3. und 5.) 7. $\begin{eqnarray} p \rightarrow (\neg q \vee p) \end{eqnarray}$ (Regel R3 auf 6.) 8. $\begin{eqnarray} p \rightarrow (q \rightarrow p) \end{eqnarray}$ (Regel R3 auf 7.) So, und da wir nur mit Axiomen und Regeln die Formel herleiten konnten, ist sie eine Tautologie. Und jetzt ist natürlich die Frage, wie man darauf kommt Also ich hab sozusagen von hinten angefangen, indem ich mir angeschaut habe, wie man mit R2 bzw. R3 die herzuleitende Formel verändern kann. Da R2 und R3 invers sind, läßt es sich ja dann auch rückgängig machen. Bei $\begin{eqnarray} p \rightarrow (\neg q \vee p) \end{eqnarray}$ fällt dann auf, daß das schon fast dem Axiom 2 entspricht - nur muß man jetzt noch -q und p vertauschen. Naja, jetzt habe ich darüber nachgedacht, wie man bei der Form (a --> (b v c)) b und c vertauschen kann, und das ist dann der Rest ... Bei diesen ganzen Kalkülen gibt es allerdings immer Formeln, die relativ leicht herzuleiten sind, und welche, für die das sehr schwer ist. Meist sind aber die Übungsaufgaben so gestellt, daß es keine allzu schwierige Herleitung ist
25.10.2004, 22:49	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi das Thema interessiert mich auch ich komme nur nicht mit den ersten drei Zeilen klar kannst du nochmal BITTE Schritt für Schritt erklären was man da machen muss Danke
26.10.2004, 22:12	slyck	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also der 1. Schritt: Wir substituieren in (3) $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \neg q \end{eqnarray}$ . Dann erhalten wir die erste Formel. Da das ein Axiom ist, können wir die einfach so, ohne weitere Voraussetzungen, hinschreiben. Im 2. Schritt wird in (4) $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p \vee \neg q \end{eqnarray}$ substituiert, $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \neg q \vee p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \neg p \end{eqnarray}$ Im 3. Schritt wenden wir jetzt (R1) an, wobei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ mit der Formel im 1. Schritt und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ mit der Formel, die im 3. Schritt rauskommt, substituiert wird. (beide Formeln mit $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ verknüpft ergeben genau die Formel im 2. Schritt). Und die Regel sagt ja genau: wenn wir $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ (in dem Fall die 1. Formel) und $\begin{eqnarray} \alpha \rightarrow \beta \end{eqnarray}$ (in diesem Fall die 2. Formel) haben, können wir $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ folgern Ist das jetzt klarer?
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27.10.2004, 21:33	rontho	Auf diesen Beitrag antworten »
@slyck Hi, hast das ja schon gut erklärt, aber wie kommt man denn darauf, welche Regel ich wann anwenden muss? Hier gibt es ja noch viele andere Regeln ( modus ponens, modus tollens, konditionalisierung ... ) Ich sehe absolut keinen Zusammenhang, wie ich auf meinen zu beweisenden Term komme. Kennst Du vielleicht ein Buch oder ein Link, wo man das mal nachlesen kann, ist ganz schwierig zu finden?
28.10.2004, 12:47	slyck	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal zu den Regeln: du darfst ja nur die anwenden, die in dem Kalkül vorgegeben sind. Also in diesem Fall (R1), (R2) und (R3) aus meinem ersten Posting. Wenn das Kalkül vollständig ist, kann man daraus dann alle andern (korrekten) Regeln folgern (so wie Modus Tollens und andere). Das ist ja das schöne: man kommt mit einer recht kleinen Menge von Regeln und Axiomen aus (und kann trotzdem alles zeigen). Ja, und wie man nun diese Ableitungsschritte findet, ist wirklich kompliziert ... es ist halt rumprobieren. Ich kenne auch kein gutes Buch dafür. Die definieren immer nur, wie Ableitungsschritte funktionieren, geben die Axiome/Regeln für das Kalkül an und bringen ein, zwei Beispiele ... du kannst nur durch rumspielen mit dem Kalkül ein Gefühl dafür entwickeln, und irgendwann hat man dann so ein Gespür, wie der Beweis läuft ... ich weiß, das klingt total unmathematisch

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