Beispielsammlung Trigonometrie

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Beispielsammlung Trigonometrie
Hier findest du eine Auswahl von Beispielen aus der Trigonometrie (+ Ergebnis), die du zum Üben verwenden kannst. Jedes Beispiel ist mit einem link zu einem Thread versehen, in dem du Fragen zum Lösungsweg stellen kannst.

Bitte poste keine vollständigen Lösungswege (die kannst du mir gern per pn schicken), damit auch andere die Möglichkeit haben, die Beispiele selbst zu lösen.

Trigonometriebeispiele:

  1. Die Verlängerung einer ansteigenden Standlinie c = 58,95 m geht durch den Fuß eines Turmes und bildet mit der waagrechten Ebene einen Winkel . Die Sehstrahlen von den Endpunkten A und B der Standlinie zur Turmspitze hin schließen mit der Richtungslinie zur Turmbasis den Winkel und ein.

    Wie hoch ist der Turm?
    Wie hoch ist der Hügel auf dem der Turm steht?

    Lösung: Der Turm ist 13,19 m hoch und der Hügel 35,62 m.

    Fragen


  2. Um die Entfernung zweier Orte A und B zu bestimmen, werden von einem 743 m hohen Berg (relative Höhe) zu A un B folgende Vermessungen vorgenommen:
    von der Bergspitze aus sieht man A unter dem Tiefenwinkel und nach Schwenken des Meßgerätes um den Horizontalwinkel den Punkt B unter dem Tiefenwinkel .

    Wie groß ist die Entfernung der beiden Orte A und B, wenn gleichzeitig noch eine Instrumentenhöhe von 1,6 m zu berücksichtigen ist?

    Lösung: Die beiden Orte A und B sind rund 2020 m voneinander entfernt.

    Fragen


  3. Die Endpunkte einer Strecke sind unzugänglich. Es kann aber in der Verlängerung der Strecke über B hinaus ein Punkt C gefunden werden, von dem aus eine Standlinie abgesteckt wird. Dann werden folgende Winkel gemessen:

    ;;

    Berechne !

    Lösung: Die Strecke AB ist rund 1300 m lang.

    Fragen


  4. Ein h = 51,3 m hoher Mast steht auf der unter 32°20' gegen die Waagrechte geneigte Fläche eines Grabens. Von seiner Spitze aus soll ein Abspannseil zu einem gegenüberliegenden Punkt P des jenseitigen Hanges gespannt werden. Dieser hat den Neigungswinkel 55°34'. Der Ankerpunkt P liegt 70,2 m über der Ebene der Grabensohle, der Mastfuß nur 49,3 m.

    Wie lang ist das Seil?

    Lösung: Das Seil ist rund 130 m lang.

    Fragen

  5. Ein Beobachter, der sich 18 m über der Oberfläche eines Teiches befindet, beobachtet eine Wolke unter dem Höhenwinkel und ihr Spiegelbild im Wasser unter dem Tiefenwinkel .

    Wie hoch schwebt die Wolke über dem See?

    Lösung: Die Wolke schwebt rund 305 m über dem See.

    Fragen


  6. Die Punkte A und B liegen auf verschiedenen Seiten einer Talfurche. Sie sollen durch eine Straßenbrücke miteinander verbunden werden. Zur Vermessung der Brückenlänge wird auf einer Seite des Tales in der Horizontalebene von A und B eine Standlinie mit der Länge abgesteckt. Von C und D aus werden folgende Winkel gemessen:

    ;
    ;

    Berechne den Richtpreis für das Bauvorhaben, wenn für 1 m Brückenlänge 14.500 Euro angenommen werden.

    Lösung: Kosten: rund 5,73 Mio Euro

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  7. Von einem Punkt einer horizontalen Ebene aus erscheint die Spitze eines ersten Berges unter einem Höhenwinkel . Die erste Bergspitze wird von einer genau dahinter liegenden zweiten Bergspitze überragt. Der zu der zweiten Spitze gemessene Höhenwinkel ist um 3,1° größer. Von einem 3 km näher beim ersten Berg liegenden Punkt erscheinen beide Gipfel in einer Linie unter einem Winkel .

    Berechne die Höhe beider Berge auf Meter genau, wenn die Ebene, von der aus die Vermessung durchgeführt wurde, 357 m über dem Meeresspiegel liegt und eine Instrumentenhöhe von 1,4 m zu berücksichtigen ist.

    Wie groß ist die Entfernung der beiden Gipfel in einer Karte im Maßstab 1 : 50000?

    Lösung: 1. Berg: 1636 m; 2. Berg: 3300 m; Entfernung der Bergspitzen in der Karte: 10,69 cm

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  8. Durch einen Stadtturm verläuft eine geradlinige Straße. entlang der Straße stehen in einer Entfernung von je 200 m Marksteine. von der Spitze des Turmes erscheint die Strecke zwischen dem ersten und zweiten Markstein unter einem Sehwinkel von 10,2°.

    Wie hoch ist der Turm, wenn der erste Stein ebenfalls 200 m vom Fußpunkt des Turmes entfernt ist.

    Lösung: Der Turm ist 77,35 m hoch.

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  9. Der Lagerplatz einer Firma hat die Form eines allgemeinen Vierecks ABCD, wobei a = 52 m, d = 61 m, = 121,4°, =95,6° und = 42,8° sind.

    a) Die Firmenleitung hat vor, diesen Platz asphaltieren zu lassen. Wie hoch die Kosten sein, wenn man für einen m² 30 Euro annimmt?

    b)Weiters führt durch den Eckpunkt A eine geradlinige Straße, die den Platz in zwei gleich große Teile teilt. Berechne die Länge der Straße innerhalb des Platzes!

    Lösung: Kosten: 77402 Euro; Die Straße ist rund 45 m lang.

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  10. Ein Grundstück hat die Form eines Vierecks ABCD mit folgenden Abmessungen:

    = 634 m; = 620 m; = 459 m; = 87,3°; = 115,6°.

    Wie groß sind die fehlenden Winkel, der Umfang und der Flächeninhalt des Grundstücks?

    Lösung:

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  11. Ein Ort (7500 einwohner) soll südlich des Ortskernes und eines Naturschutzgebietes eine Umfahrung erhalten. Die geplante Straße führt geradlinig von A (südöstliche Ortseinfahrt) bis B, dann auf einem kreisbogenförmigen Stück(Kreismittelpunkt Z) bis C und dann wieder geradlinieg bis D (südwestliche Ortseinfaht). Die Punkte A, B, C, D und Z liegen in derselben Horizontalebene, das Teilstück CD ist zur Hälfte als Unterflurtrasse geplant. Es sind folgende Daten bekannt:

    .

    a) Fertige eine genaue Skizze an (1: 20000).

    b) Berechne die Länge der geplanten Umfahrung sowie deren ungefähre Kosten, wenn pro km Schnellstraße 1,2 Millionen Euro und pro km Unterflurtrasse das Fünffache kalkuliert wird.

    c) Berechne die Ost-West-Ausdehnung des Projekts (=).

    d) Bei der Eröffnung der Projektpräsentation - anwesend waren 95 Bürger des Ortes - wurde zum ersten Mal die Höhe der Kosten genannt. 40 Minuten später wussten bereits weitere 75 Personen davon. Nach welcher zeit wissen alle 7500 Einwohner Bescheid, wenn die Informationsausbreitung einem natürlichen exponentiellen Wachstum entspricht?

    Lösung: Kosten: 10,074 Mio. Euro, Ausdehnung: 3673,6 m; Nach ca. 5 Stunden wissen alle Bewohner Bescheid.

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  12. Ein Ballon B schwebt in 460 m Höhe über waagrechtem Gelände. Von diesem Ballon aus werden zwei Orte A und C, die nicht in derselben Vertikalebene liegen, mit den Tiefenwinkeln = 25,5° und = 31,3° anvisiert. Die scheinbare Entfernung der beiden Orte, das ist der Winkel = 118,4°.

    Wie groß ist der Sehwinkel von A nach C?

    Die Spitze S eines Kirchturms wird vom Ballon aus unter dem Tiefenwinkel = 27,1° gesehen. Nähert sich der Ballon (er schwebt auf gleicher Höhe weiter) dem Turm um 100 m, so beträgt der Tiefenwinkel = 30,6°.

    Fertige eine neue Skizze an und berechne die ursprüngliche Entfernung zum Kirchturm.

    Lösung: Sehwinkel: 155,03°; ursprüngliche Entfernung: 833,83 m

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  13. Ein Flugzeug startet von einem Punkt A der Startbahn aus, fährt am Kontrollturm des Flugplatzes vorbei und beginnt von einem Punkt B aus ohne Richtungsveränderung zu steigen. Von dem Kontrollturm (Höhe h= 20 m) sieht man den Startpunkt A unter dem Tiefenwinkel und erblickt nach dem Schwenken des Fernrohres um den Horizontalwinkel den Aufstiegspunkt B unter dem Tiefenwinkel .

    Berechne die Länge der Strecke , die das Flugzeug auf der Startbahn zurücklegt.

    Das Flugzeug erreicht bei einem konstanten Steigungswinkel von nach 20 Sekunden Steigzeit eine Flughöhe von 1000m über dem Flugplatz und befindet sich nach dieser Steigzeit im Punkt C. Berechne, wie groß die durchschnittliche Geschwindigkeit auf der Aufstiegsstrecke ist.

    Lösung: ca. 950 m; 360 km/h

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  14. Unmittelbar neben einer geraden, horizontalen Straße AB befindet sich ein steil ansteigendes, abgeholztes, ebenes Gelände, das bis zum Gipfel D des Berges hinaufreicht. Nach Einschätzung der Geologen ist ein Hang dieser Bodenbeschaffenheit murengefährdet, wenn seine Neigung mehr als 41° beträgt. Zur Einschätzung, ob Gefahr vorliegt, wird vermessen:

    , der Höhenwinkel von A zu D ist , der Horizontalwinkel zwischen der Standlinie AB und der Vertikalebene, in der AD liegt, is , der Horizontalwinkel zwischen der Standlinie AB und der Vertikalebene, in der BD liegt, ist .

    a) Berechne die relative Höhe der Bergspitze D, den Neigungswinkel des Hanges und entscheide, ob ein Murenabgang zu befürchten ist. Wenn Murengefährdung vorliegt, ermittle den gefährdetsten Punkt der Straße. Wo liegt dieser?

    b) Zusammenhang zwischen der Höhe h und dem Luftdruck p(h):

    . h in km, : Normaldruck.

    Um wieviel Prozent verringert sich der Luftdruck bei einem Anstieg von der Straße zum Gipfel?

    Lösung: Murengefährdung gegeben, 366,86 m von A entfernt, 5,1%

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  15. a) Ein Leuchtturmwärter befindet sich auf einer 50 m über dem Meeresspiegel liegenden Beobachtungsstelle S auf einem Leuchtturm. Erblickt das einlaufende Schiff A unter dem Tiefenwinkel und nach Schwenkung des Messinstrumentes um den Horizontalwinkel ein zweites Schiff B unter dem Tiefenwinkel . Wie weit sind die beiden Schiffe voneinander entfernt?

    b) Beim Leuchtfeuer tritt ein Defekt auf. Der leuchtturmwärter möchte möglichst schnell ein Ersatzteil aus der Stadt C besorgen. Sein Leuchtturm befindet sich auf einer Insel P, die 12 km vom nächsten Punkt Q der geradlinig verlaufenden Küste entfernt ist. Von Q liegt in einer Entfernung von 30 km am Ufer entlang, die Stadt C. Der Leuchtturmwärter legt beim Rudern 4 km und beim Gehen 6 km in der Stunde zurück. An welcher Stelle D der Küste (zwischen Q und C) muss er anlegen?

    Lösung: 641,21 m; 10,73 m

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