vektorraum

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23.10.2004, 17:33	geo	Auf diesen Beitrag antworten »
vektorraum hi! noch ein problem: überprüfe, daß der raum der beschränkten reellen folgen l unendlich (R) einen vektorraum bildet. bzw welche teilmenge des R² bzw R³ sind teilräume? begründung und skizze {(x,y für die gilt x+y=o} {(x,y für die gilt x+y=1} {(x,y für die gilt x=0, y größergleich 0} .......... herzlichen dank für ein wenig hilfe! lg
23.10.2004, 18:02	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann nenn mir doch mal die Vektorraumaxiome die Du überprüfen musst! Um zu Überprüfen ob ein Vektorraum ein Teilraum(Unterraum) eines Vektorraumes ist musst Du folgendes sicherstellen Sei U ein Vektorraum und wir wollen testen ob er Unterraum von V ist 1) $\begin{eqnarray} \forall a,b \in U : a + b \in U \end{eqnarray}$ Das heißt der Unterraum muss abgeschlossen sein bezüglich der Addition zweier Elemente aus U 2) $\begin{eqnarray} \forall (\lambda,a) \\| \lambda \in R, a \in U : \lambdaa \in U \end{eqnarray*}$ Das heißt der Unterraum muss abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar sein.
23.10.2004, 18:24	geo	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid, aber ich weiß noch immer nichts anzufangen... bin wohl ein hoffnungsloser fall... wenn da steht: x+y= o sagt mir ja niemand, ob x+y element von U oder was weiß ich ist. und wenn ich einfach einen skalar nehme und mit x multiplizeire kann das element eines VRs sein oder aber auch nicht. im moment weiß ich noch nicht mal, wie sich ein vektorraum von einer kuh unterscheidet, geschweige denn, was abgeschlossen heißt.
23.10.2004, 18:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Manche Kühe sind lila. Vektorräume aber nie. Jetzt im Ernst. Wenn du dich im Moment nicht in die Abstraktheit der Begriffe hineindenken kannst, so stell dir unter einem Vektorraum einfach die Ortsvektoren des dreidimensionalen Anschauungsraumes vor. Die Unterräume sind dann die Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen. Und Abgeschlossenheit heißt, daß du mit den Rechenarten Vektoraddition und skalare Multiplikation nicht aus den Unterräumen herauskommst, wenn du sie auf Vektoren des Unterraumes anwendest. Beispiel bei einer Ursprungsgeraden U: Zeigt ein Ortsvektor auf einen Punkt von U, ebenso ein zweiter, so zeigt auch die Summe der beiden Vektoren (wieder als Ortsvektor aufgefaßt) auf einen Punkt von U. Wenn du dagegen eine Gerade hast, die nicht durch den Ursprung geht, dann ist dem nicht so.
23.10.2004, 18:34	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde Dir jetzt zeigen das $\begin{eqnarray} U = \{f(x) \in C[0,1]: \int_{}^{}~f(x) dx = 0 \} \end{eqnarray}$ einen Unterraum des C[0,1] bildet. Dann wirst Du das mal bei einem der 3 Beispiele durchexcerzieren. 1. Addition Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} f(x) \in U, g(x) \in U \rightarrow f(x) + g(x) \in U \end{eqnarray}$ Wir müssen also zeigen das das Integral über f(x) + g(x) = 0 ist. Los gehts $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~f(x) + g(x) dx =\int_{}^{}~f(x) dx + \int_{}^{}~g(x) dx = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} f(x) + g(x) \in U \end{eqnarray}$ Damit ist der Raum abgeschlossen bezüglich der Addition 2. Multiplikation mit Skalar Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} \lambdaf(x) \in U \end{eqnarray}$ also auf Deutsch das das Integral über der Funktion 0 ist los gehts $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\lambdaf(x) dx = \lambda\int_{}^{}~f(x) dx = \lambda0 = 0 \end{eqnarray}$ Ist also auch bezüglich der Multiplikation abgeshclossen. Daraus folgt das U ein unterraum von C[0,1] ist. Das machst Du jetzt einmal. Ach ja die Vektorraumaxiome biste mir auch noch schuldig
23.10.2004, 18:39	geo	Auf diesen Beitrag antworten »
mein kopf schaut schon 2cm aus der fetten wolke raus... vielleicht kapier ichs heute noch... soll ich jetzt für x und y zahlen einsetzen und mir denken, daß sie auf den punkt (0/0) zeigen bei x+y=0? oder sind x und y bereits vektoren?
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23.10.2004, 18:45	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
x und y sind bereits Vektoren (jeweils R² oder R³). Du musst hier aber verstehen das die Vektoren in diesem Raum abhängig von einem zweiten sind. Entsprechend musst Du hier zeigen das $\begin{eqnarray} (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = 0 \end{eqnarray}$ ist. Wobei x1,x2,y1,y2 Vektoren sind.
23.10.2004, 18:45	geo	Auf diesen Beitrag antworten »
also: x element von U, y element von U ---> x+y muß element von U sein, oder? außerdem muß ich auch noch in U bleiben, wenn ich x und y mit einem skalar multipliziere. gut. was ich nicht verstehe ist zum beispiel die 0 in deinem beispiel. warum nicht 1? ..... wenns bei mir heißt: x+y=0 dann muß auch gelten, daß x1 + y1 = 0 ist. außerdem muß (x+y) * skalar =0 genauso wie eben (x1 + y1) mal einem skalar 0 sein. sind die vektoren mit den indizes irgendeine fiktive zahl? komm mir langsam echt saublöd vor X(
23.10.2004, 18:51	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage. Was sind diese (x,y). Sind das Vektoren oder ist das ein Vektor in komponenten geschrieben?
23.10.2004, 18:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ein Bild zur Veranschaulichung im Anschauungsraum.
23.10.2004, 19:42	geo	Auf diesen Beitrag antworten »
(x,y) soll einen vektor darstellen. x+y=o hingegen müssen zahlen sein. wärs möglich anhand eines meiner beispiele das ganze relativ langsam durchzurechnen, bitte. dann tu ich mir leichter: sagen wir {(x,y) für die gilt x=3t und y=-2t, t element von R}
24.10.2004, 11:52	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich machs mal anhand dem Beispiel 1) $\begin{eqnarray} U = \{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in R^2 : x + y = 0 \} \end{eqnarray}$ Wir wollen jetzt Prüfen ob U ein Unterraum des R² ist, also Addition Es muss gelten das für a,b in U die Summe auch in U liegt also $\begin{eqnarray} a,b \in U \rightarrow (a + b) \in U \end{eqnarray}$ Jetzt muss man sich klar machen was das heißen soll. Das heißt das die Komponenten des Ergebnissvektors addiert null ergeben also wenn $\begin{eqnarray} a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann muss gelten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray}$ also ganz genau $\begin{eqnarray} (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) = 0 \end{eqnarray}$ Nun ja, es gilt $\begin{eqnarray} (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) = a_1 + b_1 + a_2 + b_2 = a_1 + a_2 + b_1 + b_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) = 0 \end{eqnarray}$ Also ist die Addition der Elemente abgeschlossen. Die Umformungen sind alle ganz elementar. Ich hab einfach so umgeformt das ich die Tatsache benutzen kann das a und b in U sind. Schau die letzte Umformung da steht ganz genau (a1 + a2) + (b1 + b2). Wir wissen aber das a1 + a2 = 0 ist und das b1+ b2 = 0 ist damit ist alles 0. Und damit gehört der neue Vektor ebenfalls zu U. Multiplikation Es muss gelten das wenn a aus U ist das dann auch $\begin{eqnarray} \lambdaa \end{eqnarray}$ in U ist für jedes reelle Lambda. Das heißt $\begin{eqnarray} \lambdaa = \lambda\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray}$ genauer heißt das $\begin{eqnarray} \lambdaa_1 + \lambdaa_2 = 0 \end{eqnarray}$ Nun ja ich forme wieder um $\begin{eqnarray} \lambdaa_1 + \lambdaa_2 = \lambda(a_1 + a_2) = \lambda0 = 0 \end{eqnarray*}$ Damit ist die Multiplikation auch abgeschlossen, und damit ist jetzt auch U ein Unterraum des R². ICh habe wieder die Eigenschaft verwendet das a1 + a2 = 0 gilt. So nun bist Du aber mal an der Reihe.
24.10.2004, 13:23	geo	Auf diesen Beitrag antworten »
tschuldigung, heißt jetzt mein x und y je a und b oder ist a (x1,y1) ???
24.10.2004, 13:26	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Was a und b sind hab ich geschrieben. Wie ich die Elemente des Vektorraums nenne ist völlig Banane. Du musst nur sehen das es Vektoren des R² sind. Und das sind sie.

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