Vollst. Induktion

23.10.2004, 18:42

matto

Vollst. Induktion

Hallo
Ich hab das Ungleichungsbeispiel aus dem induktions workshop anscheinend nicht wirklich kapiert sonst könnte ich es ja auf folgende leicht abgewandelte ungleichung anwenden:
bestimmen sie alle n element der natürlichen zahlen für die gilt
n³<=2hoch(n+1) gut ich weiß das die ungleichung für 0<=n<=2 und n>=8 gilt....
gruß matto

23.10.2004, 19:08

Leopold

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Wie wäre es mit folgendem Trick beim Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} (n+1)^3 = \left( 1+\frac{1}{n} \right)^3 \cdot n^3 \end{eqnarray*}$

Auf den zweiten Faktor kannst du die Induktionsannahme anwenden.
Und was machst du mit dem ersten?

23.10.2004, 19:33

matto

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hallo!
erstmal danke für die schnelle hilfe!
ich weiß immernoch nciht genau..... aber ... ich habe n->n+1 gemacht
aus 2 hoch (n+1) wird dann 2 hoch (n+2) das kann man zu 2*2hoch (n+1) umformen ...
also gilt für die linke seite (n+1)³ <=2*n³sein sollte. oder?? da sich das größer kleiner verhältnis nicht ändern sollte wenn man beide seiten mit 2 multipliziert...?!?!?!

also ich hab dann mit (n+1)³<=2 hoch (n+1) * (1 + 1/n)³ gezeigt das
2n³>=(n+1)³ wirkich gilt...

ich bin noch sehr verwirrt :-)

... hab ich das jetzt quasi für alle n<=8 bewiesen ?!?!?!
btw das ist meine erste ungleichung, hba das bisher nur für summen gemacht

gruß matto

23.10.2004, 23:51

Mathespezialschüler

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Ich weiß nich so richtig, was du gemeint, gezeigt zu haben.
Was du zeigen musst, ist

$\begin{eqnarray*} (n+1)^3\leq 2^{n+2} \end{eqnarray*}$

Was du gezeigt hast, ist

$\begin{eqnarray*} (n+1)^3=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3 n^3\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^3 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Du sollst aber auf $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ kommen, das heißt du musst das ganz rechts noch kleiner als $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$ bekommen, da kriegst du dann raus, für welche n es gilt!

24.10.2004, 00:57

matto

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Hallo!
also ich bin mir auch nicht mehr so wirklich sicher was ich wie versucht hab zu zeigen.. :-)
auf jedenfall hatte ich gezeigt das
$\begin{eqnarray*} 2^{n+2}\leq2^{n+1}*(1+(1/n))^3 \end{eqnarray*}$
damit dachte ich, das wenn man die ursprünglich ungleicung mit $\begin{eqnarray*} (1+(1/n))^3 \end{eqnarray*}$ erweitert , man erhält dann ja (n+1) hoch 3 auf der einen seite, dann dachte ich braucht man nur zu zeigen dass das kleiner ist als wenn man die ungleichung mit 2 erwitert da 2hoch(n+2) = 2*2hoch(n+1) ist.....
was ich sagen will ich hab gezeigt das 2n³>=(n+1)³ gilt ....
---
glaub ich ...zumindest.... :-)
....hilfe!
gruß matto

24.10.2004, 01:06

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von matto
auf jedenfall hatte ich gezeigt das
$\begin{eqnarray*} 2^{n+2}\leq2^{n+1}*(1+(1/n))^3 \end{eqnarray*}$
damit dachte ich, das wenn man die ursprünglich ungleicung mit $\begin{eqnarray*} (1+(1/n))^3 \end{eqnarray*}$ erweitert , man erhält dann ja (n+1) hoch 3 auf der einen seite, dann dachte ich braucht man nur zu zeigen dass das kleiner ist als wenn man die ungleichung mit 2 erwitert da 2hoch(n+2) = 2*2hoch(n+1) ist.....
was ich sagen will ich hab gezeigt das 2n³>=(n+1)³ gilt ....

Das hört sich schon ganz gut an, nur etwas ungenau, aber das ist ok. Wenn du $\begin{eqnarray*} 2n^3\geq (n+1)^3 \end{eqnarray*}$ gezeigt hast, bist du fertig. Aber für welche n hast du das denn gezeigt und wie? Augenzwinkern

24.10.2004, 01:33

matto

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hallo!
also ich weiß durch ausprobieren :-)))) das die ungleichung nur für 0<=n<=2 und für n>=8 gilt....
wie ich das beweisen soll weiß ich allerdings noch nicht.
und auf $\begin{eqnarray*} 2n^3\geq%20(n+1)^3 \end{eqnarray*}$ gekommen bin..
also ich hab gesagt das $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} = 2 * 2^{n+1} \end{eqnarray*}$
und hab dann überlegt das $\begin{eqnarray*} 2 * n^3 <= 2* 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ auch richtig sein muss
und nach dem tipp von leopold musste dann
$\begin{eqnarray*} (n+1)^3 <= 2^{n+1} * (1+ 1/n)^3 \end{eqnarray*}$ auch richtig sein
also hba ich dann $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} >= 2^{n+1} * (1+ 1/n)^3 \end{eqnarray*}$
umgeformt bis ich dann $\begin{eqnarray*} 2n^3 >= (n+1)^3 \end{eqnarray*}$
hatte......
stimmt das so oder is das zu viel gefuscht?! :-)
aber mir ist noch unklar wie ich jetzt zeigen soll für welche n das alles gilt, bzw ich habs nciht verstanden smile

gruß matto

24.10.2004, 01:43

Mathespezialschüler

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Bis dahin ist alles richtig!
Aber warum hast du das wieder umgeformt?
Lass es doch lieber so:

$\begin{eqnarray*} 2\geq \left(1+\frac{1}{n}\right)^3 \end{eqnarray*}$

und stell das jetzt mal nach n um! Augenzwinkern

24.10.2004, 02:13

matto

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hey danke!
spontan krieg cih da zwar nur $\begin{eqnarray*} 0\leq n\leq 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ raus aber vieleicht bin ich auch einfach nur zu müde :-)
is das jetzt damit dann bewiesen? also für mich is das klar ;-) Tanzen

gruß matto

24.10.2004, 03:08

Mathespezialschüler

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Das geht wohl darüber doch nicht ...
Aber man kriegt folgendes: Du weißt ja schon, dass es für 0,1,2 gilt. Das wäre dein Induktionsanfang. Jetzt bekommen wir zwar mit der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 2\geq \left(1+\frac{1}{n}\right)^3 \end{eqnarray*}$

nur, dass

$\begin{eqnarray*} n\geq 3,847... \ \ n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

also muss

$\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$

Das heißt, der Induktionsschluss klappt nur für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ , also ist der Induktionsanfang 0,1,2 nicht mehr verwertbar und du brauchst einen neuen, der größer oder gleich 4 ist. Dann testest du einfach durch:
4 - stimmt nicht
5 - stimmt nicht
6 - stimmt nicht
7 - stimmt nicht
8 - stimmt

Also gilt die Ungleichung für alle n größer gleich 8 und für 0,1,2.

Hast du das kapiert? Augenzwinkern

24.10.2004, 03:17

matto

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JA :-) jetzt ja!
danke nochmla !!! für die super späte hilfe ;-)
gruß matto!!!

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