Supremum

23.10.2004, 19:51

Poldi

Supremum

Hallo liebe Nation!

Mal ganz allgemein gefragt:
Wenn ich weiß, dass s eine obere Schranke von M ist. Kann ich dann aus der Information $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in ]0, s[ \end{eqnarray*}$ beliebig wählbar darauf schließen, dass s = supM sein muss?
Mir erscheint das jedenfalls logisch, weil x doch quasi unglaublich dicht an s gewählt werde könnte. Andererseits bleibt ja trotzdem noch ein winziges bißchen Platz übrig, wo sich eine kleinere Schranke als s befinden könnte. Hat jemand eine kompetentere Auskunft als meine unmathematischen Überlegungen??

Gruß Poldi

24.10.2004, 00:02

Mathespezialschüler

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Was ist denn die Menge M? (soll das allgemein irgendne Menge sein?)
Was heißt beliebig wählbar? Für mich ist eine Menge "festgelegt". Wenn jetzt aber die Menge M die Eigenschaft hat, dass ihre Elemente beliebig in $\begin{eqnarray*} ]0;s[ \end{eqnarray*}$ liegen, dann geht das schon. Schonmal was von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Fassung gehört?

24.10.2004, 00:44

eule

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RE: Supremum
Nein geht nicht. Gegenbeispiel sei s=10 und m=]-3,7[. Aus $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in ]0,s[ \end{eqnarray*}$ nur darauf schließen das $\begin{eqnarray*} x \in ]-3,7[ \end{eqnarray*}$ und daher S eine obere Schranke ist. S ist aber sicher nicht das Supremum.

Du kanst aber aus der Info das M=]0,s[ schließen das s das Supremum ist.

24.10.2004, 00:49

Mathespezialschüler

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Jetzt versteh ich erst, was mit beliebig wählbar gemeint ist Hammer

24.10.2004, 01:49

Poldi

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RE: Supremum

Zitat:

Original von eule
Du kanst aber aus der Info das M=]0,s[ schließen das s das Supremum ist.

Ja, genau das wollte ich eigentlich auch. Hab mich bei der Formulierung des Problems verhauen.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn jetzt aber die Menge M die Eigenschaft hat, dass ihre Elemente beliebig in $\begin{eqnarray*} ]0;s[ \end{eqnarray*}$ liegen, dann geht das schon.

Auch das ist eine treffende Beschreibung meines Problems. Muss wohl noch ernsthaft an meiner Problemformulierung arbeiten... Hatte einen speziellen Fall, den ich allgemein formulieren wollte. Ist mir nicht ganz gelungen, aber euch dafür umso besser!!!

Zitat:

Schonmal was von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Fassung gehört?

Nee, nicht wirklich! Hab gerade nochmal geblättert, finde aber in diesem Zusammenhang nichts. Kannst Du vielleicht kurz was dazu sagen?

Danke Euch beiden!
Poldi

24.10.2004, 15:46

Ben Sisko

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RE: Supremum

Zitat:

Original von Poldi

Zitat:

Schonmal was von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Fassung gehört?

Nee, nicht wirklich! Hab gerade nochmal geblättert, finde aber in diesem Zusammenhang nichts. Kannst Du vielleicht kurz was dazu sagen?

Das Supremum (=kleinste, obere Schranke) hat die Eigenschaft, dass sie obere Schranke ist, aber $\begin{eqnarray*} (\sup M - \epsilon) \end{eqnarray*}$ für beliebig kleines $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ keine obere Schranke von M mehr ist.

Gruß vom Ben

24.10.2004, 16:23

Poldi

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RE: Supremum
Ja, das leuchtet mir ein!

Wenn ich damit beweisen wollte, das s (aus meinem Eingangsproblem) = supM ist, könnte ich dann folgendermaßen argumentieren?:

Wäre s $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ supM, dann existiert k mit k = s- $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ für beliebig kleines $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ > 0, so dass k $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ x für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M

Da M =]0, s[ gibt es ein Element x von M, für das gilt: $\begin{eqnarray*} x = s-\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber $\begin{eqnarray*} k= s-\epsilon < s -\frac{\epsilon}{2} = x \end{eqnarray*}$ , was der Voraussetzung widerspricht. Es existiert somit kein k mit den geforderten Eigenschaften, so dass s = supM.

Richtig????

Übrigens: Ihr seid super!!!! Mit Euch sehe ich wieder Land und mir macht Mathe sogar wieder Spaß!!!!

Gruß Poldi

24.10.2004, 16:29

Ben Sisko

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RE: Supremum

Zitat:

Original von Poldi
Wäre s $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ supM

Zur mathematischen Schreibweise/Argumentation: Hier solltest du schreiben, welche Bedingung des Supremums das s nach Annahme nicht erfüllt, es gibt ja zwei. Mit "ungleich" sagst du ja nur, dass mind. eine der beiden nicht erfüllt ist.

Ansonsten machst du es unnötig kompliziert, denke ich. Schau dir die Definition des offenen Intervalls an, die ist genau so, dass jede Zahl, die kleiner als s ist, zur Menge gehört (wenn sie grösser als 0 ist Augenzwinkern

).

Gruß vom Ben

24.10.2004, 16:36

WebFritzi

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Naja, etwas umständlich formuliert. Du sollst zeigen, dass sup ]0,s[ = s? Dann mach's halt so: s ist obere Schranke. Klar! Wäre nun nicht sup ]0,s[ = s, dann gäbe es eine kleinere obere Schranke s' < s. Wähle nun e>0, so dass s' < s'+e < s. Weil nun aber s'+e in M enthalten ist, kann s' keine obere Schranke für M sein. Widerspruch!

24.10.2004, 17:18

Poldi

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RE: Supremum
Jungs, Ihr habt's geschafft! Es hat zwar einige posts lang gedauert, aber dafür hab ich's jetzt wirklich durchblickt! Eben nicht nur Problem gelöst, sondern wirklich verstanden.

Wie immer TAUSEND DANK an alle!!!

Gruß Poldi

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