def. mächtigkeit der Potenzmenge

24.10.2004, 10:39

noname_

def. mächtigkeit der Potenzmenge

ist die angabe der mächtigkeit der potenzmenge P(M) = 2^mächtigkeit von M in jedem fall vollständig richtig? auch, wenn M unendlich ist?

24.10.2004, 10:58

therisen

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Ich meine ja. Die Mächtigkeit einer Potenzmenge wird ja durch vollständige Induktion bewiesen, somit gilt sie auch für unendlich (n+1) viele Elemente.

Zitat:

Mit einem allgemeineren Verfahren kann man zeigen, dass die Menge aller Teilmengen einer Menge M, die so genannte Potenzmenge P(M) von M überabzählbar ist, wenn M unendlich viele Elemente hat. Genauer: Man kann zeigen, dass P(M) echt mächtiger ist als M.

Gruß, therisen

24.10.2004, 12:11

Leopold

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RE: def. mächtigkeit der Potenzmenge

Zitat:

Original von noname_
ist die angabe der mächtigkeit der potenzmenge P(M) = 2^mächtigkeit von M in jedem fall vollständig richtig? auch, wenn M unendlich ist?

In der Mengenlehre beschäftigt man sich mit sogenannten Kardinalzahlen. Mit diesen kann man auch unendliche Mengen zählen (ohne einfach nur zu sagen, daß sie $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ viele Elemente haben).

Die ersten Kardinalzahlen sind die natürlichen Zahlen
0,1,2,3,...

Hinter diesen unendlich vielen Zahlen folgt die erste unendliche Kardinalzahl. Sie steht für "abzählbar unendlich" und gibt die Kardinalität einer jeden Menge an, die zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gleichmächtig ist. Bezeichnen wir sie mit

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$

Die Mächtigkeit des Kontinuums (also z.B. die Mächtigkeit des reellen Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ oder sämtlicher reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) bezeichnen wir mit

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{c} \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} 1<2<3<...<2374<...<945300762<...<...<...... \ < \ \mathfrak{a} \ < \ ??? \ < \ \mathfrak{c} \ < \ ................. \end{eqnarray*}$

Und dieses Zählen kann man in absurde Höhen treiben.

Lange Zeit war es eine offene Frage, ob es zwischen $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathfrak{c} \end{eqnarray*}$ noch weitere Kardinalzahlen gibt. Inzwischen weiß man, daß man das so oder so sehen kann. Mit diesem Problemkreis beschäftigt sich die sogenannte Kontinuumshypothese.

Die aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ bekannten Rechenoperationen kann man zum großen Teil auf Kardinalzahlen ausdehnen. Insbesondere kann man auch die Potenz definieren. Und in der Tat gilt dann für jede Menge X

$\begin{eqnarray*} |X| = \mathfrak{k} \ \Rightarrow \ \left| \mathfrak{P}(X) \right| = 2^{\mathfrak{k}} \end{eqnarray*}$

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