Körperaxiom in Teilmenge und Aussagenlogik

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grendel Auf diesen Beitrag antworten »
Körperaxiom in Teilmenge und Aussagenlogik
Hallo Leute, ich hab hier ein kleines Problem. Und zwar soll ich 2 Aufgaben lösen, von denen ich aber nicht so genau die Lösung weiß.

Zum einen habe ich eine Menge M mit den den Verknüpfungen "+" und "*" gegeben, so dass a,b K mit a+b K und a * b K. Ferner gilt für eine Teilmenge L von mit a,b L ebenfalls a+b L und a*b L.

Nun soll ich beantworten, ob folgende Aussage korrekt ist:

Gilt das Körperaxiom A1 in L, so gilt es auch in K. Richtig oder falsch?

Ich habe mir dabei gedacht, dass es eigentlich gelten müsste, da es sich ja "nur" um die Kommutativität handelt. Bei anderen Axiomen ist das ja schon schwieriger smile Kann ich die Gültigkeit denn so folgern?


Mein anderes Problem ist mehr auf die Aussagenlogik bezogen, es geht immer darum, ob die Folgerung nach dem "also" korrekt ist.

1. Es gilt 3 x - 7 = 2 => 3 x = 9 => x = 3, also kann hochstens 3 eine Losung der Gleichung 3 x - 7 = 2 bezuglich x sein.

Mir geht es hier um dieses "höchstens", was soll das heißen? Dass die 3 eine Lösung der Gleichung ist, das ist mir klar, aber ist die Aussage auch formal richtig? Warum?

1. Es gilt 3 x - 7 = 2 <= 3 x = 9 <= x = 3, also kann ist {3} die Losungsmenge der Gleichung 3 x - 7 = 2 bezuglich x sein. Hier stelle ich mir wieder die Frage, was formal unter der Lösungsmenge {3} zu verstehen ist. Eigentlich müsste die Aussage richtig sein, weil die Folgerungspfeile in die andere Richtung gehen, aber andererseits bezieht sich die Lösungsmenge ja auf die Gleichung 3 x - 7 = 2.

Ihr seht, ich habe da noch leichte Verständnisschwierigkeiten. Habe das irgendwie nie in der Schule gelernt, so formal zu unterscheiden....

Ein letztes noch: Wenn ich eine Gleichung auf eine wahre Aussage, wie z.B. 0=0 umformen kann, dann müsste ich doch die Richtigkeit der Aussage bewiesen haben oder?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke!

cya
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körperaxiom in Teilmenge und Aussagenlogik
Zitat:
Original von grendel
Gilt das Körperaxiom A1 in L, so gilt es auch in K. Richtig oder falsch?

Ich habe mir dabei gedacht, dass es eigentlich gelten müsste, da es sich ja "nur" um die Kommutativität handelt.


Das "nur" ist hier fehl am Platze. Kommutativität ist eine große Sache und nicht so eine Kleinigkeit wie z.B. Assoziativität. Man denke nur an Matrizen. Da ist nicht unbedingt AB = BA. Außerdem fordert in meinem Algebra-Buch (A1), dass die zugrundeliegende Menge eine abelsche (also kommutative) Gruppe ist. Das ist mehr als nur Kommutativität. Viel mehr! Aber zurück zu deiner Aufgabe. Die Behauptung stimmt nicht! Nimm dir einfach als K die natürlichen Zahlen (zuzüglich der Null) und L = {0}. Die Verknüpfung soll die herkömmliche Addition sein.

Zu deiner zweiten Frage. 3 x - 7 = 2 => 3 x = 9 => x = 3. Höchstens ist 3 eine Lösung. Was soll nun dieses "höchstens" heißen. Das soll bedeuten, dass eine mögliche Lösung nur die 3 sein kann. Das heißt aber noch lange nicht, dass 3 eine Lösung ist. Die erste Folgerung bedeutet doch: "Wenn x die Gleichung 3x - 7 = 2 löst, dann muss 3x = 9 sein." Analoges gilt für die zweite. Also bedeutet die Gesamtfolgerung: "Wenn x Lösung von 3x - 7 = 2 ist, dann muss x = 3 sein". Das heißt aber wie gesagt noch lange nicht, dass 3 eine Lösung ist. Man sagt x = 3 ist notwendig.
Vielleicht mal ein anderes Beispiel: "Wenn x ein lokales Maximum der differenzierbaren Funktion f(x) ist, dann ist f'(x) = 0." Den Satz kennen wir aus der Schul-Analysis. Wenn wir aber jetzt ein x mit f'(x) = 0 haben, dann bedeutet das noch lange nicht, dass x ein lokales Maximum von f ist. Es könnte ja auch ein Minimum oder ein Sattelpunkt sein.
grendel Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm.... irgendwie ist mir das noch nicht ganz verständlich:

Zum ersten Fall: Das nur habe ich ja auch in " geschrieben. Ist mir schon klar, dass Kommutativität nicht überall gilt. Aber zurück zu deinem Beispiel: Wenn L = {0}, dann kann ich doch a=b=0 setzen, damit wäre doch a + b = b + a mit 0 + 0 = 0 + 0. Oder wie soll ich das sonst verstehen? Kann auch sein, dass ich nen Gedankenfehler habe. Dann versuch mir bitte zu sagen, wo der liegt.

Bei dem 2. Punkt:

OK, das mit dem höchstens ist klar, "wenn es eine Lösung gibt, dann muss sie x=3 lauten." Ich würde jetzt mal behaupten, dass die Aussage falsch ist, weil die Folgerung eigentlich nur zeigt, dass es eine mögliche Lösung mit x=3 gibt. Die Folgerung lässt weitere Lösungen theoretisch zu, bzw. beweist nicht das Gegenteil. Sehe ich das richtig?

Ansonsten auf jeden Fall schonmal danke für deine Bemühungen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von grendel
Wenn L = {0}, dann kann ich doch a=b=0 setzen, damit wäre doch a + b = b + a mit 0 + 0 = 0 + 0. Oder wie soll ich das sonst verstehen?


Doch, genauso sollst du das verstehen. Ist L eine abelsche Gruppe? Ist K eine abelsche Gruppe?

In deinen Aussagen zum 2. Punkt habe ich kein Wort verstanden. Gib dir bitte etwas mehr Mühe.
grendel Auf diesen Beitrag antworten »

Das liegt vielleicht auch ein biisschen daran, dass du das ganze äußerst abstrakt formulierst. Was mir hingegen fehlt, ist die Anschauung.

Also nochmal von vorne: Eine kommutative Gruppe bezieht sich ja nur auf die Axiome A1 - A4 soweit ich das weiß, also die Axiome, die sich mit der Verknüpfung "+" beschäftigen. Ich kann dir aber doch nicht sagen, ob K bzw. L eine kommutative Gruppe ist, denn es sind ja 2 beliebige Mengen, mit der Einschränkung, dass L eine Teilmenge von K ist. Und nur, weil ein Axiom für eine der beiden Mengen erfüllt ist, kann ich zumindest nicht schließen, ob wir hier eine kommutative Gruppe haben. Darum geht es glaube ich überhaupt nicht, denn der Begriff der kommutativen Gruppe wurde in der Vorlesung noch überhaupt gar nicht erwähnt. Es war übrigens eine Analysis-Vorlesung. Der Rest meiner Ausführung sollte dir zeigen, dass ich nicht verstanden habe, warum du sagst, dass die Menge L ={0} das Axiom A1, welches besagt, dass a+b = b+a ist nicht erfüllt. Kannst du mir so helfen?

Nunja, zu Punkt 2:

Ich versuche es noch einmal: Wenn ich die vorgegebene Aussage aus meinem 1. Posting betrachte, welche ich bewerten soll, ob sie zutrifft oder nicht, dann würde ich aufgrund deiner Ausführung und den Informationen aus meinem Tutorium sagen, dass die Aussage "... also kann höchstens 3 eine Lösung der Gleichung 3 x -7 = 2 bezüglich x sein" falsch ist. Denn: Wie du sagtest, bedeutet höchstens: "dass, wenn es eine Lösung gibt, x=3 die Lösung ist". Diese Aussage, wurde aber mit der Folgerungskette 3 x - 7 = 2 => ... => x = 3 nicht bewiesen. Diese Folgerungskette besagt lediglich, dass 3 EINE Lösung der Gleichung ist. Es wurde nirgendwo bewiesen, dass es keine weiter Lösung der Gleichung gibt. So wurde es mir in meinem Tutorium gesagt. Damit ist die Aussage nach dem "also" unwahr = falsch. Stimmst du darin überein? Ich hoffe, so kann man es besser verstehen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von grendel
Wie du sagtest, bedeutet höchstens: "dass, wenn es eine Lösung gibt, x=3 die Lösung ist". Diese Aussage, wurde aber mit der Folgerungskette 3 x - 7 = 2 => ... => x = 3 nicht bewiesen.


Doch!


Zitat:
Original von grendel
Diese Folgerungskette besagt lediglich, dass 3 EINE Lösung der Gleichung ist.


Nein! Sie besagt, dass es höchstens eine Lösung gibt. Und wenn es eine gibt, dann ist es die 3.


Zum 1 Punkt: Schreib bitte nochmal deine Axiome hier hinein. Es ist ziemlich wahrscheinlich, dass wir hier von verschiedenen Dingen reden. Wer weiß schon, was (A1) bei dir für ein Axiom ist...
 
 
grendel Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich gerne machen. Aber genau da ist schon das Problem. Du sagst jetzt: Die Folgerungskette sagt, dass es nur eine Lösung gibt, die wenn dann 3 ist. Meine Tutorin sieht das glaube ich etwas anders. Ich ersetzte jetzt mal die Aussage "also kann höchstens 3 die Lösung der Gleichung ...." durch "also ist 3 die Lösung der Gleichung....". Formal ist da jetzt ein Unterschied: Das höchstens schließt die Möglichkeit mit ein, dass es für die Folgerungskette auch keine Lösung gibt, die andere Aussage, bedeutet, dass 3 die einzige Lösung ist. Da die Folgerungskette aber zeigt, dass eine Lösung die 3 ist, fällt die Möglichkeit "keine Lösung" ja weg. Das nivelliert die beiden Aussagen in meinen Augen. Was würdest du denn sagen, wenn die Aussage statt "also kann höchstens 3 die Lösung der Gleichung...." so lauten würde: "also ist 3 die Lösung der Gleichung...."? PS: Ich möchte hier nicht werten, wer recht hat, dazu bin ich selbst leider nicht in der Lage, nur bin ich jetzt in der Zwickmühle, mich für etwas entscheiden zu müssen. Und ich würde halt ganz gerne das WARUM verstehen smile


Hier meine Körperaxiome:

Definiert wurden sie in der Vorlesung folgendermaßen:

Zwei reellen Zahlen x,y ist eindeutig die Summe x + y R und das Produkt x * y R zugeordnet. Diese Zuordnungen heißen Addition und Multiplikation. Für x,y,z R gelten:

A1 x + y = y + x (kommutativ)
A2 (x + y) + z = x + (y + z) (assoziativ)
A3 Es existiert 0 R mit x + 0 = x für alle x R
A4 Zu jedem x R existiert ein w R mit x + w = 0
A5 x * y = y * x
A6 (x * y) * z = x * (y * z)
A7 Es existiert 1 R, 1 ungleich 0 mit 1 * x = x für alle x R
A8 Zu jedem x ungleich 0 existiert ein w R mit x * w = 1
A9 x * (y+z) = x * y + x * z
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von grendel
Ich ersetzte jetzt mal die Aussage "also kann höchstens 3 die Lösung der Gleichung ...." durch "also ist 3 die Lösung der Gleichung....". Formal ist da jetzt ein Unterschied: Das höchstens schließt die Möglichkeit mit ein, dass es für die Folgerungskette auch keine Lösung gibt, die andere Aussage, bedeutet, dass 3 die einzige Lösung ist.


Für eine Folgerungskette gibt es keine Lösung, weil es da nichts zu lösen gibt. Du meintest wohl die Gleichung. Und genau hier hast du recht. Dieser Unterschied ist da, und er ist wichtig!


Zitat:
Original von grendel
Da die Folgerungskette aber zeigt, dass eine Lösung die 3 ist,[...]

Und genau das tut sie nicht!
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