Wie löst man Gleichungen ohne absolutes Restglied?

17.03.2007, 19:20

Erdbeertee

Wie löst man Gleichungen ohne absolutes Restglied?

Wenn man eine quadratische Gleichung hat:

$\begin{eqnarray*} rx^2 + sx + t = 0 \end{eqnarray*}$

kann man diese mit pq-formel o. Ä. lösen

Kubische:

$\begin{eqnarray*} px^3 + qx^2 + rx + s = 0 \end{eqnarray*}$

kann man mit Glück mit polynomdivision lösen, anderen weg kenn ich nicht

Aber wie löst man eine Gleichung bei das Restglied fehlt, z.B.:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{10}x^2-\frac{1}{50}x^3 = 0 \end{eqnarray*}$

17.03.2007, 19:22

kiste

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Die sind doch einfacher als die normalen Augenzwinkern

Einfach x aufklammern.

Allgemeinen kubische Gleichungen kann man mit der Formel von Cardano lösen

17.03.2007, 19:32

Vieta

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ich wäre dann da mit dem Newton-Verfahren zur näherungsweisen Nullstellenberechnung herangegangen

EDIT: klammer ein x aus und benutze dann p-q oder ABC-Formel

17.03.2007, 19:35

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Vieta
ich wäre dann da mit dem Newton-Verfahren zur näherungsweisen Nullstellenberechnung herangegangen

Warum denn wenn's auch analytisch geht?

17.03.2007, 20:22

Erdbeertee

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Kann mir einer jetzt erklären, wie ich das mache?

17.03.2007, 20:35

tigerbine

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Steht doch schon da:

Klammer ein x aus. In deinem Beispiel darf auch e weng mehr sein, also ein ².

Dann hat dich Kiste auch auf die Existenz von Lösungsformeln für kubische Gleichungen hingewiesen. Stichwort CARDANO. Man sollte aber erstmal (gerade wo wir in der Schulmathe sind) schauen, ob man im allgemeinen Fall eine Lösung nicht erraten kann. Im Bereich -10:10 erzielt man häufig einen Treffer. Dann kann man mit Polynomdivision das ganze wieder auf eine Quadratische Gleichung führen. Steht aber auch schon da.

Zum Üben auch mal dieser Link.

17.03.2007, 20:37

Vieta

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erstmal kannst du ja die gleichung so umschreiben:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{50}x^3+\frac{3}{10}x^2= \end{eqnarray*}$

man teile das durch minus 1 und klammere dann $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ aus

Es gilt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

Sorry für meine bescheidenen Leistung oben, aber ich hoffe, ich konnte dir hier helfen.

17.03.2007, 20:57

Erdbeertee

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Zitat:

Original von Vieta
erstmal kannst du ja die gleichung so umschreiben:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{50}x^3+\frac{3}{10}x^2= \end{eqnarray*}$

man teile das durch minus 1 und klammere dann $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ aus

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{10}x^2-\frac{1}{50}x^3= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{50}x^3+\frac{3}{10}x^2= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{50}x^3-\frac{3}{10}x^2= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =>\frac{1}{50}x^3-\frac{3}{10}x^2<=>\frac{3}{10}x^2-\frac{1}{50}x^3 \end{eqnarray*}$

Ist doch unlogisch, wie kann denn dann bei beiden das Gleiche rauskommen? Ich hab die Gleichung nach mathematischen Regeln dann umgeformt aber im Endeffekt hab ich innerhalb einer Subtraktion Minuend und Subtrahend vertauscht, dann kann doch garnicht mehr dasselbe wie vor der Umformung rauskommen.

17.03.2007, 21:03

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \frac{3}{10}x^2-\frac{1}{50}x^3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{10}-\frac{1}{50}\cdot x)\cdot x^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1,2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{10}-\frac{1}{50}\cdot x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{10} = \frac{1}{50}\cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = 15 \end{eqnarray*}$

17.03.2007, 21:15

Vieta

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{50}x^3-\frac{3}{10}x^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \left( \frac{1}{50}x-\frac{3}{10}\right) =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{50}x-\frac{3}{10}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_3=15 \end{eqnarray*}$

und das wäre das gleiche wie Tigerbine es auch herausgefunden hat verwirrt

17.03.2007, 21:22

Erdbeertee

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Aber ich dachte immer, dass man innerhalb einer Subtraktion oder Divsion die Komponenten niemals vertaushen darf, nur bei Addition und Multiplikation darf man das beliebig oft und verschieden tun.

17.03.2007, 21:30

Vieta

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ich würde jetzt mal auf Folgendes tippen:
Normalerweise darf man bei einer Subtraktion die beteiligten Glieder nicht vertauschen.
Weil wir hier aber eine gültige Termumformung (durch -1 geteilt) gemacht haben, sollten sich in unserem Spezialfall keine Probleme ergeben, jedoch bin ich mir nicht so sicher smile

17.03.2007, 22:02

DGU

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Ich bin mir gerade nicht sicher, ob ich dein Problem richtig verstanden habe...trotzdem: Augenzwinkern

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} a - b \end{eqnarray*}$ ist eine Kurzform für $\begin{eqnarray*} a + (-b) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} (-b) \end{eqnarray*}$ das additive Inverse zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist. Die Addition von Elementen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-b) \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ additiv und deshalb darfst du die Elemente vertauschen.

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