Abbildung in die Potenzmenge

24.10.2004, 14:06

Kospe

Abbildung in die Potenzmenge

Hi, ich soll beweisen, dass es keine surjectiven Abbildungen von einer Menge M in ihre Potenzmenge P(M) gibt. Hab überhaupt keinen Plan, wie ich da rangehen soll. Hätte jemand einen Tipp für mich?

24.10.2004, 15:01

Poff

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RE: Abbildung in die Potenzmenge
P(M) hat 'mehr' Elemente als M, so kann es im Endlichen schon
mal nicht und im Unendlichen zeigst das wohl mit Widerspruch ...
.

24.10.2004, 15:24

Kospe

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RE: Abbildung in die Potenzmenge
Ok, so einfach kann man sich das machen? Warum muss man denn endlich und unendlich dann noch unterscheiden? Es ist doch allgemein gültig, dass auch Potenzmengen von Mengen mit unendlich vielen Elementen eine größere Mächtigkeit besitzen als die Menge selbst, oder?

24.10.2004, 15:28

Kospe

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Mit einem Gegenbeispiel für die unendlichen Mengen kann ich ja nur beweisen, dass es solche nicht-surjektiven Abbildungen gibt aber nicht dass es gar keine solchen surjektiven Abbildungen gibt.

24.10.2004, 16:12

slyck

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Mmh, bist du sicher, daß du das auch für (abzählbar) unendliche Mengen zeigen sollst? Ich seh gerade nicht, warum das nicht klappen soll (ähnliches Argument wie die Gleichmächtigkeit von Q und N), schließlich ist wenn M abzählbar unendlich auch P(M) abzählbar unendlich ...

Für endliche Mengen kannst du natürlich einfach das Mächtigkeitsargument benutzen.

24.10.2004, 16:16

Rob O. Ter

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schließlich ist wenn M abzählbar unendlich auch P(M) abzählbar unendlich

Das möcht ich sehen - genau diese Behauptung ist nämlich falsch. Die Potenzmenge jeder Menge ist mächtiger als diese Menge, auch für unendliche Mengen.

Den Beweis dazu findet man z.B. hier:
Mächtigkeit