Kern, Bild

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Jonny Auf diesen Beitrag antworten »
Kern, Bild
Hallo.

Gegeben ist die Matrix nach



Ich soll davon den Kern und Bild (+Rang) bestimmen.

Wenn ich das so erst einmal in Zeilenstufenform bringe, komme ich aber nur auf



Für das Bild oder Kern hilft mir das aber nicht weiter.

Wenn ich die Matrix umschreibe, zu



Dann in Zeilenstufenform



Ich behaupte mal das das der Kern ist

Ker = {-1,2,-1}

Oder ist es doch das Bild?

Also hiervon ist die Dimension erst einmal 1.

Folglich ist das vom Bild dann 2.

Wie bestimme ich das Bild? Woher weiß ich überhaupt, ob ich gerade den Kern oder das Bild berechnet habe? Bin verwirrt. Kann mir jemand aus der Patsche helfen?
DGU Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir mal mit dem Kern an: Der Kern ist die Menge aller Elemente, die auf das neutrale Element abgebildet werden, in diesem Fall auf . Folglich ist zur Bestimmung der Kern das LGS nach aufzulösen, wobei deine Matrix ist.
Jonny Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss ich ja jetzt




betrachten, hat aber nur die Lösungen x=y=z=0

Also Ker={(0,0,0)}

Ker = {0}

?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jonny
Dann muss ich ja jetzt




betrachten

Nein, du musst die gegebene Matrix betrachten, wie es dir schon gesagt wurde.
Jonny Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und die Matrix muss ich doch mittels Gauß lösen oder nicht? Nach Umformung komme ich dann aber auf die Matrix, die ich genannt habe. verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jonny
Ja und die Matrix muss ich doch mittels Gauß lösen oder nicht?

Nein, weil man keine Matrix "löst". Das macht überhaupt keinen Sinn. Man löst doch auch keine Zahl, oder? Aber du kannst das Gauß-Verfahren benutzen, um Ax = 0 zu lösen, ja. Wenn da die von dir genannte Matrix bei rauskommt, ist der Kern halt {0}.
 
 
Jonny Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl, irgendetwas kann hier nicht stimmen.

Also ich gehe von




aus

Nun rechne ich Zeile 2 - Zeile 1 *4 = Zeile 2
Zeile 3 - Zeile 1*7 = Zeile 3




Und nu rechne ich Zeile 3*3 - Zeile2*4 = Zeile 3




Stimmt das überhaupt?

Mit lösen meinte ich quasi gleich Null setzen
Jonny Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich stimmt das nicht und natürlich habe ich gleich in der zweiten matrix einen Rechenfehler, statt minus 4 kommt da minus 6 hin. ..............

Wie mache ich dsa Bild? Fürs Bild nehme ich dann doch die Matrix



Und setze das sozusagen gleich Null und löse das, oder?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Was setzt du gleich Null????? "sozusagen" ist in der Mathematik ein blödes Wort, weil unpräzise! Und wieso hast du jetzt die Matrix vom Anfang transponiert???
Jonny Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
erst einmal danke, dass du so hartnäckig deine Zeit an mich verschwendest, um mir etwas beizubringen.

Ich habe die Schreibform eigentlich so gelernt:




Was hoffentlich so viel bedeutet wie:
x+4y+7z=0
2x+5y+8z=0
...

Wenn ich das aber löse, komme ich auf eine Lösung. Die Dimension des Bildes muss aber doch zwei sein - also müsste ich auch zwei Vektoren bekommen, oder wie läuft das?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jonny
Die Dimension des Bildes muss aber doch zwei sein

Richtig. Weil nämlich die Dimension des Kerns Eins ist.

Zitat:
Original von Jonny
also müsste ich auch zwei Vektoren bekommen, oder wie läuft das?

Zwei Basisvektoren, ja. Eine Möglichkeit besteht darin, zwei linear unabhängige Bilder von Einheitsvektoren zu berechnen. Also zunächst Ae_1 und Ae_2 berechnen. Wenn die l.u. sind, biste fertig. Wenn nicht, musste noch Ae_3 berechnen.
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