abelsche gruppe?

24.10.2004, 18:39	sdauth	Auf diesen Beitrag antworten »
abelsche gruppe? hallo, kann mir jemand bei folgender aufgabe helfen? Zeige, dass die Matrizen der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha)& cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ bezüglich der Matrizenmultiplikation eine abelsche Gruppe bilden. ich versteh das ehrlich gesagt überhaupt nicht. laut wikipedia ist eine abelsche gruppe eine gruppe in der das kommutativgesetz gilt. jetzt hab ich aber gelernt, dass die matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. und was heißt überhaupt "bezüglich der matrizenmultiplikation eine abelsche gruppe bilden?" hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
24.10.2004, 19:24	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich definiere mal kurz: $\begin{eqnarray} A(\alpha) = \begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha)& cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Du musst zeigen: 1.) Es existiert ein neutrales Element A(e), so dass $\begin{eqnarray} A(e) \cdot A(\alpha) = A(\alpha) \cdot A(e) = A(\alpha) \end{eqnarray}$ 2.) Zu jedem Element $\begin{eqnarray} A(\alpha) \end{eqnarray}$ existiert ein Element $\begin{eqnarray} A(\beta) \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} A(\alpha) \cdot A(\beta) = A(\beta) \dot A(\alpha) = A(e) \end{eqnarray}$ 3.) Assoziativität (folgt direkt aus der Assoziativität der Matrixmultiplikation) 4.) Kommutativität. Zeige für beliebige $\begin{eqnarray} A(\alpha) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A(\beta) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} A(\alpha) \cdot A(\beta) = A(\beta) \cdot A(\alpha) \end{eqnarray}$ Mit Matrixmultiplikation ist das normale "Faltprodukt" zweier Matrizen gemeint.
24.10.2004, 19:28	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrixmultiplikation ist für beliebige Matrizen nicht kommutativ. Du musst nun (u.a.) zeigen, dass sie für Matrizen dieser speziellen Gestalt doch kommutativ sind. "bzgl. der Matrizenmultiplikation" heisst nur, dass die Matrizenmultiplikation die verknüpfung dieser Gruppe sein soll. Alles klar? Gruß vom Ben
24.10.2004, 19:55	sdauth	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die rasche hilfe! jetzt denke ich es verstanden zu haben
24.10.2004, 23:08	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Übrigens: Deine Matrix da oben ist nichts anderes als eine Rotationsmatrix für einen Vektor im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ , die den Vektor entgegen dem Urzeigersinn um den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ dreht. Das neutrale Element ist dann logischerweise die Drehung um den Winkel 0. Und wen wundert: $\begin{eqnarray} A(0) \end{eqnarray}$ ist die Einheitsmatrix. Ein inverses Element macht die Drehung von $\begin{eqnarray} A(\alpha) \end{eqnarray}$ rückgängig. Wie funktioniert das? Na klar: Man dreht mit $\begin{eqnarray} A(360^\circ - \alpha) \end{eqnarray}$ . Und warum ist das ganze kommutativ? - Weil es wurscht ist, mit welchen Winkel man zuerst dreht, da der Drehsinn gleich bleibt. Edit: LaTeX verbessert, mit dem ° verhält es sich wie mit dem ², nach 360 hatte ich nix mehr gesehen. Ben

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