Körperaxiome

24.10.2004, 22:02

ania

Körperaxiome

Hallo,
ich habe ein Problem mit den beiden folgenden Aufgaben zum Thema Körperaxiome.
Wäre echt klasse wenn jemand helfen könnte.

Können x+y oder x/y in Q sein, wenn
x Element Q und y Element R \Q, also eine reele Zahl die nicht rational ist.

Und wenn ja wie beweise ich das???

24.10.2004, 22:43

Leopold

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Wird eine rationale Zahl mit einer irrationalen Zahl durch eine der Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division verknüpft, so ist das Ergebnis immer irrational, außer wenn die rationale Zahl 0 Faktor oder Dividend ist.

Beweis durch Widerspruch.
Nimm an, es ginge doch, und bringe dann die beiden Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ in der Gleichung auf eine Seite. Verwende, daß $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist. Und schon steht es da.

25.10.2004, 10:34

ania

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Guten Morgen,
ich hoffe du liest dir diesen Beitrag noch mal durch denn ich kriege diesen blöden Beweis durch einen Widerspruch nicht hin ich glaube ich habe ein viel zu großes Brett vor dem Kopf.

Kannst du mir noch mal einen Ansatz geben??

MfG
Ania

25.10.2004, 10:51

Ben Sisko

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Hallo ania,

der Ansatz steht doch schon in Leopolds Post, oder? Augenzwinkern

Poste mal, wie du´s versucht hast.

Gruß vom Ben

26.10.2004, 02:58

awie

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Hallihallo. Die Beweise musste ich auch gerade machen.

Die Aufgabe geht bei mir nun aber noch weiter. Und zwar ist weiterhin zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} + \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ebenfalls irrational ist. Ich hab mich da mal dran versucht, bin mir aber nicht sicher, ob man das einfach so schreiben kann?

Also durch Widerspruchsbeweis:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} + \sqrt{3} = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ , a,b teilerfremd, also $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 + 2 \sqrt{5} = \frac{a^2}{b^2} \end{eqnarray*}$

Da aber Summe aus rationaler und irrationaler Zahl = irrational (folgt ja aus dem ersten Beweis) ist $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{b^2} \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ irrational, was ein Widerspruch zur Behautung wäre, also:

$\begin{eqnarray*} 5 + 2 \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ = irrational

???

Oh oh, ich glaub ich bin auf dem Holzweg *g*

Danke schonmal im Voraus1

LG,
awie

26.10.2004, 03:03

awie

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ups! Denkt euch das ganze in [LaTeX] ... [\LaTeX]

*grins*

26.10.2004, 08:47

Ben Sisko

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Zitat:

Original von awie
ups! Denkt euch das ganze in [ LaTeX] ... [\LaTeX]

*grins*

Du kannst deine Beiträge auch editieren. Hab das mal für dich gemacht.

Gruß vom Ben

Edit: Ausserdem sieht dein Beweis doch nicht schlecht aus. Außer, dass $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{6} \end{eqnarray*}$ , aber das ändert ja nix Augenzwinkern

26.10.2004, 11:04

awie

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Hallihallo.

Dankeschööön!

Hab gestern diesen Edit-Button vergeblich gesucht. Ich glaube ich befand mich zu der Zeit irgendwie schon im Tiefschlaf Schläfer

*g*

Mensch, das ist ja super. Dann werd ich mal fix aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ne $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ zaubern und dann passt das *juhu*

Peinlicher Fehler Hammer