Fläche zwischen Graphen (mal wieder)

24.10.2004, 23:12

Integrator

Fläche zwischen Graphen (mal wieder)

Hallo zusammen!

Da mir hier vor ein paar Tagen bei einer Aufgabe schon so professionell geholfen wurde, muss ich einfach noch einmal nachfragen - ich hab' nämlich noch eine Aufgabe, bei der ich nicht auf die richtige Lösung komme, obwohl ich meine, den richtigen Rechenweg eingeschlagen zu haben.

Die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} fk(x)=k*(- x^{3}+3x+4) \end{eqnarray*}$ Bestimme k (k>0) so, dass der Graph von fk mit der Tangente im Hochpunkt eine Fläche mit dem Flächeninhalt A=45 einschließt.

Meine Lösung:

Ich suche das Maximum der Funktion, finde es auch im Punkt (1|6k). Die Tangente heißt somit $\begin{eqnarray*} gk(x)=6*k \end{eqnarray*}$ Ich suche nun die Schnittpunkte von fk(x) und gk(x) - die Schnittpunkte sind x=1 und x=-2.

Nun bilde ich $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{1}~2k~dx -\int_{-2}^{1}~-kx^{3}+3kx+4k~dx =45 \end{eqnarray*}$

Die Lösung, die ich aber dabei herausbekomme, ist leider negativ und somit nicht mit dem k in der Aufgabenstellung konform. Weiß jemand eine Lösung? Hab' ich irgendetwas übersehen oder mich verrechnet? Ich komm' einfach nicht drauf...

25.10.2004, 10:33

klarsoweit

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RE: Fläche zwischen Graphen (mal wieder)
Die Frage ist doch erstmal: Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Funktionen? Richtig: Man nimmt die Differenz der Funktionen und berechnet das Integral. Nur das Integral ist etwas gemein: Wenn die Funktion, die man integriert, negativ ist, so erhält man als Integral etwas negatives. Um die Fläche zu berechnen, muß mal also den Betrag der Funktion betrachten.

25.10.2004, 11:11

Integrator

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Aber beide Funktionen sind doch im Intervall [-2;1] positiv, oder sehe ich das falsch?

25.10.2004, 11:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Integrator
Aber beide Funktionen sind doch im Intervall [-2;1] positiv, oder sehe ich das falsch?

nun ja, das mag sein, aber die Differenz kann trotzdem negativ sein.
Also nochmal:
Wenn man zwei Funktionen f und g hat, so ist die Fläche zwischen diesen Funktionen (gemeint ist die geometrische Fläche):
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}|f(x) - g(x)|~dx \end{eqnarray*}$

25.10.2004, 12:28

Integrator

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Zitat:

Original von klarsoweit
nun ja, das mag sein, aber die Differenz kann trotzdem negativ sein.
Also nochmal:
Wenn man zwei Funktionen f und g hat, so ist die Fläche zwischen diesen Funktionen (gemeint ist die geometrische Fläche):
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}|f(x) - g(x)|~dx \end{eqnarray*}$

Das stimmt, aber wenn man doch weiß, dass in diesem Falle in dem Intervall die Funktion g(x) über der Funktion f(x) liegt und zusätzlich beide Funktionen in dem Intervall >0 sind, kann man doch sagen, dass der Flächeninhalt, den beide Funktionen einschließen, mit der Formel
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~g(x)~dx -\int_{b}^{a}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$
berechnet werden kann. Außerdem komme ich mit der Betragsformel immer noch nicht auf das richtige Ergebnis - hab's gerade ausprobiert. traurig

25.10.2004, 14:30

Akerbos

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also ich hab immer die Integrale voneinander abgezogen und nicht die Funktionen vor dem Integrieren verwirrt

wenn man dann die Integrale in || setzt, kommt immer das richtige raus.

25.10.2004, 15:04

klarsoweit

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RE: Fläche zwischen Graphen (mal wieder)

Zitat:

Original von Integrator

Nun bilde ich $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{1}~2k~dx -\int_{-2}^{1}~-kx^{3}+3kx+4k~dx =45 \end{eqnarray*}$

Ok, du hast mich zum Nachrechnen gezwungen.
Erstmal muß es heißen: $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{1}~6k~dx -\int_{-2}^{1}~-kx^{3}+3kx+4k~dx =45 \end{eqnarray*}$

Wie wärs mit einem Zwischenergebnis?
Für $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{1}~-kx^{3}+3kx+4k~dx \end{eqnarray*}$ habe ich k*45/4 raus.

25.10.2004, 17:37

wuschel

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dein rechenweg ist korrekt @ integrator.
ich bekomme in jedem fall einen positiven k-wert heraus.
$\begin{eqnarray*} 6+\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ um genau zu sein

wie "klarsoweit" allerdings schon feststellte hast du einmal 2k anstatt 6k geschrieben, vielleicht liegt da der fehler.

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