Abelsche Gruppe

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Poldi Auf diesen Beitrag antworten »
Abelsche Gruppe
Hallo liebe Nation!

Es hat gar nicht lange gedauert, bis ich wieder vor die Wand laufe...
Hier mein neustes Problem.

Ich soll zeigen, dass jede Gruppe mit 1, 2, 3 oder 4 Elementen abelsch ist.

Okay, ich zeig Euch mal, wie weit ich komme:

1) Bei einer Gruppe mit einem Element muss dieses das neutrale Element e sein. Die Verknüpfung auf der Menge bezeichne ich einfach mal mit *. Soll ich jetzt zeigen, dass e*e = e*e ist? Wer sieht denn da, dass was vertauscht wurde???

2) Eine Gruppe mit zwei Elementen enthält e und ein weiteres Element x. Dass e*x = x*e = x ist, ergibt sich aus der Definition des neutralen Elementes. Ist demnach unproblematisch.

3) Wir haben jetzt die Elemente e, x, y. Verknüpfungen mit e sind in 2) schon erledigt. Bleibt also zu zeigen, das x*y = y*x
Dem Thema nach zu urteilen helfen die Gruppenaxiome weiter, aber ich weiß beim besten Willen nicht wie! Zumal ich schon Schwierigkeiten habe, die Assoziativität hier zu formulieren, weil ich das e darin merkwürdig fände, aber ansonsten ja nur noch zwei Elemente habe. Nehm ich dann eins doppelt?

4) Wenn Ihr mir 3) verklickern könnt, schaff ich 4) ja vielleicht allein!

Gruß Poldi

Edit:
Ha, mir ist gerade noch was zu 3) aufgefallen:
Da für alle Elemente ein inverses Element enthalten sein muss, welches nicht e sein kann, muss gelten
x*y = e oder x*x = e und y*y = e.
Im Fall 1 bin ich nach der Definition des inversen Elementes schnell fertig, da x*y = e = y*x.
Im Fall 2 wäre
(x*x)*y = y = y*(x*x). Wegen der Assoziativität der Gruppe gilt dann
x*(x*y) = (y*x)*x.
Sieht für mich so aus als wäre ich fast da, wo ich hin will, aber eben nur fast, weil ich doch da x* links und das *x rechts nicht einfach weglassen kann. Dann würde ich ja die Kommutativität schon voraussetzen!???

Oder kann ich aus x*x = e und y*y = e vielleicht folgern,
dass (x*y)*(x*y) = e sein muss??? Dann bekäme ich's nämlich auch hin!
carsten Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Fall 2 x*x=e und y*y=e kann bei einer Gruppe nicht eintreten. Wenn Du zeigen kannst wieso nicht bist du mit 3.) fertig Augenzwinkern .

Gruesse Carsten
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einer Gruppentafel lässt sich das ganze relativ leicht notieren, falls du die nicht kennst, ich habe unter http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/home...ath/gruppen.pdf welche gefunden (Seiten 5 und 6).

Gruß vom Ben
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von carsten
Dein Fall 2 x*x=e und y*y=e kann bei einer Gruppe nicht eintreten.


Also das seh ich anders. In der Quelle, die Ben Sisko angibt, sind auf S. 6 gleich zwei Gruppentafeln von Gruppen mit dieser Struktur, oder seh ich das falsch?

@Ben Sisiko
Also ich notier mal die Gruppentafel (lasse die Beschriftung der Zeilen und Spalten weg, sonst bekomm ich's nicht hin. Ist natürlich jeweils e, x, y. Hier jetzt nur das "Innenleben")


Sieht man da jetzt was dran?? Ich seh leider nichts!
Gruß Poldi
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst vielleicht noch wissen, dass jedes Element in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vorkommen muss. Augenzwinkern
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Gott, bist Du schnell!

Okay, dann ist's jetzt natürlich klar: Dann müsste bei y*x aus Zeilensicht y und aus Spaltensicht x rauskommen und x = y gilt ja nicht.

Ich nehm dann auch meinen obigen Einwand zurück. Die Gruppen auf Seite 6 haben natürlich mehr Elemente.

Okay ich versuch jetzt 4). Melde mich dann ggf. nochmal....

TAUSEND DANK!!!

Poldi
 
 
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht überlegst du noch, warum in jeder Zeile und Spalte jedes Element genau einmal stehen muss (schau dir an, was es bedeuten würde, wenn ein Element in einer Spalte/Zeile mehrfach vorkommen würde).

Zitat:
Original von Poldi
Mein Gott, bist Du schnell!


Wenn man das von einer Frau hört, ist das i.d.R. schlecht Big Laugh
Poldi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Vielleicht überlegst du noch, warum in jeder Zeile und Spalte jedes Element genau einmal stehen muss (schau dir an, was es bedeuten würde, wenn ein Element in einer Spalte/Zeile mehrfach vorkommen würde).


Gute Idee! Also:
Wenn ein Element in einer Zeile (oder Spalte) gar nicht vorkommt, bedeutet das automatisch, dass ein anderes doppelt vorkommen muss, denn andere als die Elemente der Gruppe kommen nicht in Betracht, sonst wäre die Verknüpfung nicht Element der Gruppe, was der Abgeschlossenheit widerspräche.
Ein doppeltes Element würde aber bedeuten, dass z.B. x*y = y*y ist, womit automatisch (weil in Gruppen die Kürzungsregel gilt) x = y wäre und das gilt ja nicht...
Rischtisch???

Zitat:
Original von Ben Sisko
Zitat:
Original von Poldi
Mein Gott, bist Du schnell!


Wenn man das von einer Frau hört, ist das i.d.R. schlecht Big Laugh


Das ist ganz vom Zusammenhang abhängig... Augenzwinkern
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poldi
Ein doppeltes Element würde aber bedeuten, dass z.B. x*y = y*y ist, womit automatisch (weil in Gruppen die Kürzungsregel gilt) x = y wäre und das gilt ja nicht...
Rischtisch???


Freude

Zitat:
Original von Poldi
Zitat:
Original von Ben Sisko
Zitat:
Original von Poldi
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Das ist ganz vom Zusammenhang abhängig... Augenzwinkern


Augenzwinkern
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