Ermittlung der Minimalfläche

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18.03.2007, 12:08	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ermittlung der Minimalfläche Hallo, ich möchte versuchen die Minimalfläche zwischen zwei geometrischen Figuren zu ermitteln. Die Aufgabe wie folgt: Die Kuppel einer Halle soll einen halbkreisförmigen Querschnitt (Radius r) erhalten. In welchen Punkten berührt das trapezförmige Dach die Kuppel, wenn die Restfläche zwischen Dachschräge und Kuppel minimal werden soll? Dazu gibt es nun eine Skizze die zeigt, dass es 3 Berührungspunkte gibt. Ein Berührungspunkt liegt im ersten, einer im zweiten Quadranten. Der dritte liegt mitten auf der x-Achse und hat wegen dem halbkreisförmigen Querschnitt einen y-Wert der r entspricht. Somit liegt ein Berührungspunkt bei (0,r), den nenne ich mal P3. Somit bleibt noch P1 für den Berührungspunkt im 1. Quadranten und P2 für den im zweiten. Wie kann ich diese beiden Punkte nun in Abhängigkeit der min. Restfläche ermitteln? Gruß tt
18.03.2007, 13:15	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche hallo taler, ich schicke dir wieder einmal ein bilderl. denke an halbe quadrate usw., dann sollte es klar sein zur kontrolle: $\begin{eqnarray} B_1(\frac{a}{2}/\frac{a}{2}) \end{eqnarray}$ mit a = halbe grundseite des trapezes. $\begin{eqnarray} C(r(\sqrt{2}-1)/r) \end{eqnarray}$ mit r radius der kuppel werner
18.03.2007, 15:01	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche Danke Werner. So liegt P1 bei (a/2;a/2). P2 liegt bei (-a/2;a/2) und P3 bei (0,r). P1 entspricht Punkt B1 in wernerins Skizze. Soweit so gut... Wie kann ich das aber rechnerisch darlegen? Welche Zusammenhänge spielen eine Rolle. Was bedeutet es mathematisch für die beiden geometrischen Körper, wenn es heisst "die Restfläche soll minimal werden" und wann ist dies der Fall?
18.03.2007, 17:58	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche entschuldige tt, ich habe da vermutlich schon das ergebnis vorweggenommen. richtig ist es so (hoffentlich ): der winkel zwischen radius und x-achse sei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . dann gilt mit der skizze: berührungspunkt $\begin{eqnarray} B_1(r\cdot cos\alpha/r\cdot sin\alpha) \end{eqnarray}$ wenn du jetzt die tangente an B1 mit y = 0 und y = r schneidest, bekommst du $\begin{eqnarray} B(\frac{r}{cos\alpha}/0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C(\frac{r}{cos\alpha}(1-sin\alpha/r) \end{eqnarray}$ und jetzt kannst du die fläche des trapezes in abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ minimieren. und wenn ich viel glück habe kommt $\begin{eqnarray} \alpha = 45° \end{eqnarray}$ heraus. beachte bei der tangente: sie steht senkrecht auf den radius, daher ist ihre steigung $\begin{eqnarray} m=-\frac{1}{tan\alpha} \end{eqnarray}$ und wenn du die trapezfläche minimierst, hast du das minimum, da die fläche des kreises ja konstant ist. werner
18.03.2007, 18:27	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche ok, B1 über Pythagoras... Aber wie genau kommst Du auf die x-Werte von B und C? Und was genau bedeutet die Fläche des Trapez in Abhängigkeit von alpha minimieren ?
18.03.2007, 18:45	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche zunächst, leider kein glück, das minimum liegt bei $\begin{eqnarray} \alpha=30° \end{eqnarray}$ der einfachste weg: die x - koordinate von B kannst du direkt aus dem rechtwinkeligen dreieck $\begin{eqnarray} \Delta{OB_1B} \end{eqnarray}$ ablesen. $\begin{eqnarray} x(B)=\frac{r}{cos\alpha} \end{eqnarray}$ die von C bekommst du mit dem strahlensatz $\begin{eqnarray} (x(B)- x(C)):x(B)=r\cdot sin\alpha:r \end{eqnarray}$ daraus kannst du x(C) berechnen. und minimieren bedeutet, bilde die 1.ableitung in abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ es genügt sogar die funktion $\begin{eqnarray} f(\alpha)=x(B)+x(C) \end{eqnarray}$ zu minimieren, da ja die höhe h = r konstant ist. ok werner
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18.03.2007, 20:52	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche Mit den Koordinaten komme ich nun klar, danke! wie aber kommt man auf f(alpha)= x(B) + x(C) ? wir leiten nach alpha ab, und die x-Koordinate von B und C stehen ja in Abhängigkeit zu alpha, soweit klar, aber warum das Additionszeichen? Also nun f(alpha)= r/cos(alpha) + r/cos(alpha)*(1-sin(alpha)) ableiten?
18.03.2007, 22:33	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche zunächst solltest du das wissen $\begin{eqnarray} A_{trapez}=\frac{(a+c)}{2}h \end{eqnarray}$ und alle multiplikativen konstanten kannst du wegschmeißen (da ja nacher = 0 gesetzt wird), in diesem fall 0.5 und h = r. f(alpha) ist damit richtig werner
19.03.2007, 10:28	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche Das leuchtet ein. Da war ich mit meinen Gedanken schon fast am Ziel, ich fragte mich immer nur warum ich noch 0.5 vor x(B) + x(C)hatte. Wusste nicht das ich 0,5 wie h behandeln darf. Das geometrische ist nun ganz klar nachvollziehbar. (a+c)/2 ,entspricht x(B)+ x(C). Nun zum analytischen Teil. Ich habe hier zwar Ableitungsregeln für trigonometrische Funtkionen aber bin in der Differentialrechnung eher wenig geübt... Abzuleiten ist also: f(alpha)= r/cos(alpha) + r/cos(alpha)(1-sin(alpha)) als erstes würde ich die Klammer im zweiten Teil ausmultiplizieren... f(alpha)= r(cos(alpha) + r/cos(alpha) - rtan(alpha) bin mir aber nicht sicher wie es jetzt weiter geht...
19.03.2007, 11:25	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche du könntest auch einmal den formeleditor benutzen, dann könnte ich das deine so gut lesen wie du das meine zunächst können wir die konstante r auch hier weglassen und ausmultiplizieren ist gut. $\begin{eqnarray} f(\alpha) =\frac{2}{cos\alpha}-tan\alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^\prime(\alpha)=\frac{2sin\alpha}{cos²\alpha}-\frac{1}{cos²\alpha}=0\to sin\alpha=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ werner
19.03.2007, 13:28	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche $\begin{eqnarray} f(\alpha)= \frac{2}{cos\alpha}-tan\alpha \end{eqnarray}$ der Umgang mit Konstanten hatt doch was für sich , soweit ok Leider ist meine "hoch2" Funktion am Laptop beschädigt nur ein "³" ist möglich, daher ist momentan die Nutzung des Formeleditors schwierig... Die Ableitung von tan(alpha) kann ich nachvollziehen. Wie leitest Du aber 2/cos(alpha) ab? auf 1/2 komme ich auch wenn ich mit cos(alpha)hoch2 multipliziere und dann durch 2 teile( auf beiden Seiten versteht sich). Nun haben wir "ein" Ergebnis erhalten... Heißt dies das wir hier die zweite Abl. nicht mehr brauchen, mit der Begründung, dass das Ergenbnis eindeutig bestimmt ist? Oder wie würde das ein Mathegenie ausdrücken Herr Werner??
19.03.2007, 14:26	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche $\begin{eqnarray} f(\alpha)=2\cdot cos^{-1}\alpha\to f^\prime(\alpha)=2\cdot (-1)cos^{-2}\alpha\cdot (-sin\alpha) \end{eqnarray}$ wenn die taste "²" defekt ist, benutze "^{2}". wie das ein mathegenie ausdrückt, woher soll ich das wissen werners begründung: faulheit und überprüfung mit EUKLID. "anschauliche begründung": es existiert nur 1 extremum, dieses kann nur ein minimum sein, da die trapezfläche immer größer wird, je weiter ich B nach außen schiebe. aber ein ordentlicher mensch wird natürlich das an hand der 2. ableitung überprüfen, also sei bitte ordentlich werner
21.03.2007, 15:04	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche Danke Werner. Und da die zweite Ableitung ja >0, muss es sich um ein Minimum handeln. Kann ich auch sagen das alpha im Intervall [0,90] liegen muss?
21.03.2007, 15:12	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ermittlung der Minimalfläche im konkreten fall würde ich sagen ja, da es sich sonst eher um den querschnitt eines schwimmbeckens handelte denn um den eines daches. werner

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