charakteristische funktionen von verteilungen

18.03.2007, 16:52	Mr.Pink	Auf diesen Beitrag antworten »
charakteristische funktionen von verteilungen hallo freunde, ich tue mich hier grad ein bisschen schwer. ich möchte aus der definiton von der charekteristischen funktion für diskrete zufallsgrößen die konkreten charakteristischen funktion für diskrtete verteilungen herleiten. allg. def.: $\begin{eqnarray} \phi_X(t)=\sum_{n}~{ e^{itx_n}} \cdot P(X=x_n),~(n\in \mathbb N ) \end{eqnarray}$ jetzt möchte ich beispielsweise die charakteristische funktion von der Binomialverteilung ermitteln, also: $\begin{eqnarray} X \sim B(n,p), q=1-p, n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ dann: $\begin{eqnarray} \phi_X(t)=\sum_{k=0}^n~{ e^{itx_n}} \cdot \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot q^{n-k}=(q+p\cdot e^{it})^n \end{eqnarray}$ das ist die richtige lösung, nun komm ich mit der summe nicht richtig klar. ich weiß natürlich, dass die struktur $\begin{eqnarray} (a+b)^n \end{eqnarray}$ aus dem binomischen satz resultiert. allerdings kann ich mir nicht erklären wo das $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} e^{itx_n} \end{eqnarray}$ hin ist und warum $\begin{eqnarray} e^{it} \end{eqnarray}$ nur als faktor vor dem $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ bei der lösung steht und nicht vor der klammer, da ich mir so dachte, dass ich es aus der summe rausziehen könnte, weil ja kein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ dabei ist. aber jetzt kommt bestimmt die sache mit dem $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ ins spiel. kann mir bitte jmd. helfen? gruß, Mr.Pink
18.03.2007, 16:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du klammerst dich da an die Symbolik $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ - warum? Diese $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ kennzeichnet die Werte, die die Zufallsgröße annehmen kann. Im konkreten Fall musst du die natürlich einsetzen, und nicht stur das Symbol $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ hinschreiben. Konkret für die Binomialverteilung heißt das also $\begin{eqnarray} \phi_X(t) = \sum_{k=0}^n e^{itk} \cdot P(X=k) = \sum_{k=0}^n ~ e^{itk} \cdot \binom{n}{k} p^k\cdot q^{n-k} \end{eqnarray}$ . Jetzt noch nach Potenzgesetzen zusammenfassen $\begin{eqnarray} e^{itk} \cdot p^k = (e^{it})^k \cdot p^k = (e^{it}\cdot p)^k \end{eqnarray}$ und dann den Binomischen Satz rückwärts anwenden, schon steht das gewünschte da.
18.03.2007, 17:05	Mr.Pink	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo arthur dent, vielen dank für deine sehr schnelle antwort! jetzt ist es klar und ich kann mich an den anderen verteilungen zu schaffen machen.

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