DGL lösen (Textaufgabe)

18.03.2007, 17:54	Julian01	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL lösen (Textaufgabe) Hallo, Bei folgender Aufgabe komme ich einfach nicht aufs Ergebnis. Eine Kugel trfft mit 200 m/s zur Zeit t=0 auf eine Platte, die 0,1m breit ist. Die Austrittsgeschwindigkeit beträgt 80m/s. Wie lange fliegt die Kugel durch die Platte. Hinweis: Reibungskraft ist prop. zum Quadrat der Geschwindigkeit. Mein Versuch: $\begin{eqnarray} F_{Bew.} = -F_R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m\frac{dv}{dt}=-kv^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dv}{v^2}=-\frac{k}{m}dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int{\frac{dv}{v^2}}=\int{-bdt} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=\frac{1}{bt-C_1} \end{eqnarray}$ Mit der Bedingung: $\begin{eqnarray} v(0)=200=\frac{1}{-C_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C_1=-\frac{1}{200} \end{eqnarray}$ Dann, $\begin{eqnarray} \int{\frac{1}{bt-C_1}dt}=s=\frac{ln(\|bt-1/200\|)}{b}+C_2 \end{eqnarray*}$ Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter, da ich b und C2 nicht habe. julianl
19.03.2007, 03:11	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL lösen (Textaufgabe) Im Prinzip schon ganz gut. Die Integrationskonstanten kriegt man eleganter in den Griff, indem man gleich bestimmte Integrale ansetzt. Wenn die Zeit von 0 bis t vergeht, sinkt die Geschwindigkeit von v0 auf v(t): v_0 = 200 m/s v_1 = 80 m/s t_F = "Flugzeit" für das durchqueren der Platte (gesucht) b := k/m $\begin{eqnarray} \int_{v_0}^{v(t)} \frac{\dd v'}{v'^2} & = & \int_0^t~-b~\dd t' \Rightarrow \\ v(t) & = & \frac{v_0}{1 + b v_0 t} \end{eqnarray}$ . Insbesondere ist $\begin{eqnarray} v(t_F) = v_1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} v_1 & = & \frac{v_0}{1+b v_0 t_F} \Rightarrow \\ t_F & = & \left(\frac{1}{v_1}-\frac{1}{v_0}\right) \cdot \frac{1}{b}~(1) \end{eqnarray}$ Für das störende $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ hast du ja noch das Wegintegral: $\begin{eqnarray} s & = & \int_0^{t_F}~v_0 \cdot (1+b v_0 t)^{-1}~\dd t~\Rightarrow \\ s & = & \frac{1}{b} \ln (1+b v_0 t_F)~(2) \end{eqnarray}$ Bleiben also die beiden Gleichungen (1) und (2) mit den beiden Unbekannten $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_F \end{eqnarray}$ . Alles klar? (Ich hab übrigens $\begin{eqnarray} t_F = 0,819~ms \end{eqnarray}$ , kann mich natürlich auch verrechnet haben.) Christian

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