Äquivalenzrelation,-klassen und Partition

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curly Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation,-klassen und Partition
Hallo zusammen.

Ich habe gerade angefangen WiMa zu studieren und habe schon die ersten Schwierigkeiten. traurig

Ich habe die Begriffen oben nicht richitg verstanden. Was ist das denn genau, und was macht man damit???
Ich bin ein einziges Fragezeichen, kann mir das jemand mal erklären?

Schon mal ein dickes DANKE.
carsten Auf diesen Beitrag antworten »

Du gehst immer von einer Menge M aus. In dieser Menge hast Du Elemente. Und diese Elemente moechte man jetzt betrachten. Manche Elemente haben etwas gemeinsam bzw. stehen in einer gewissen "Relation".
Oefters braucht man Aequivalenzrelationen um eine Menge zu verringern. Man hat eine grosse Menge, hat aber Elemente die auf eine bestimmte Art nicht unterschieden werden muessen (sie stehen in "Relation" zueinander). Also steckt man alle Elemente die in Relation zueinander stehen in eine Schublade.
Diese Schubladen heissen dann Aequivalenzklassen und werden meist mit einem Element aus der Schublade bezeichnet.

Was eine Relation und speziell eine Aequivalenzrelation ist, habt Ihr sicherlich definiert.
Wenn eine Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, dann heisst sie Aequivalenzrelation.

Reflexiv heisst, dass ein Element zu sich selbst in Relation stehen muss.
Symmetrisch heisst, wenn a zu b in Relation stehen, dann muss auch b zu a in Relation stehen.
Und transitiv bedeutet wenn a zu b und b zu c in Relation stehen, dann stehen auch a und c in Relation.

Wenn man jetzt eine Relation auf einer Menge gegeben hat, kann man nachpruefen, ob die 3 Bedingungen erfuellt sind. Das werdet Ihr sicher noch in der Uebung machen.

Um noch einmal zu den Aequivalenzklassen zu kommen. Du nimmst Deine Menge auf der du eine Aequivalenzrelation gegeben hast. Alle Elemente a, b, ... die zueinander in Relation stehen steckst du in eine Klasse.

Sei zum Beispiel M={1,2,3,4,5,6}.
Zwei Elemnte a und b aus M sollen in Relation stehen, wenn a und b den selben Rest bei Division durch 3 lassen.
diese Relation ist:
- reflexiv, a laesst den selben Rest bei Division durch 3 wie a
- symmetrisch, da, wenn a den selben Rest bei Division durch 3 laesst wie b , dann gilt das auch umgekehrt
- transitiv , da aus a laesst den selben Rest bei Division durch 3 wie b und b laesst den selben Rest bei Division durch 3 wie c folgt, dass a den selben Rest bei Division durch 3 laesst wie c.

Also ist das eine Aequivalenzrelation.
In die Aequivalenzklassen kommen jetzt alle Elemente die zueinander in Relation stehen. In unserem Fall waeren das 1 und 4, 2 und 5 , 3 und 6.
also hat man drei Aequivalenzklassen: {1,4}; {2,5} und{3,6}.





Das ganze steht auch nochmal unter:
http://www.matheboard.de/lexikon/Relatio...,definition.htm

Edit: Link repariert. Ben
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