Injektive Abbildung auf kommutativem Ring

26.10.2004, 04:01

Poldi

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Injektive Abbildung auf kommutativem Ring

Hallo liebe Nation,

schon wieder ein Problem, bei dem ich Hilfe brauche:

Sei R ein kommutativer Ring. Für alle r,s $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R gelte, dass rs = 0 nur für r = 0 oder s = 0 möglich ist.

Beweisen Sie
1. Für alle a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R, a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} f_{a} \end{eqnarray*}$ : R --> R, $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = ax \end{eqnarray*}$ für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R, injektiv.

2. Wenn R nur endlich viele Elemente enthält, dann ist R ein Körper.

Okay, hier wie immer meine bescheidenen Ergebnisse:

zu1. $\begin{eqnarray*} f_{a}(x_{1}) = f_{a}(x_{2}) \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} ax_{1} = ax_{2} \end{eqnarray*}$ . Da a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 folgt
$\begin{eqnarray*} x_{1} = x_{2} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f_{a} \end{eqnarray*}$ ist somit injektiv.

Sollte das wirklich schon alles gewesen sein??? Kann kaum glauben, dass die wirklich ne Aufgabe da drin haben, für die selbst ich weniger als 10 Sekunden brauche... Sagt mir bitte bescheid, wenn ich was übersehen habe.

zu2. Hier haben leider auch 10000 Sekunden nur ein paar mikrige Überlegungen hervorgebracht:
R soll ein Ring mit endlich vielen Elementen sein. Das hab ich mal so notiert: R = {0, 1, $\begin{eqnarray*} x_{1} , x_{2}, ... , x_{n} \end{eqnarray*}$ }, n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Jetzt muss ich doch zeigen, dass jedes Element aus R invertierbar bezgl. mal ist, also dass $\begin{eqnarray*} x_{i} \cdot x_{j} = 1 \end{eqnarray*}$ . Der Injektivitätsbeweis aus 1. soll dabei hilfreich sein. Leider kann ich mit all diesen Informationen so gar nichts anfangen. Weiß auch nicht, wie ich rs = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ s = 0 v r = 0 verwenden kann.

Wäre sehr dankbar für den ein oder anderen von Euren Tipps!
Gruß Poldi

26.10.2004, 08:35

Ben Sisko

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RE: Injektive Abbildung auf kommutativem Ring

Zitat:

Original von Poldi
zu1. $\begin{eqnarray*} f_{a}(x_{1}) = f_{a}(x_{2}) \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} ax_{1} = ax_{2} \end{eqnarray*}$ . Da a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 folgt
$\begin{eqnarray*} x_{1} = x_{2} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f_{a} \end{eqnarray*}$ ist somit injektiv.

Hier versuchst du durch a zu teilen, also mit dem inversen von a zu multiplizieren. Aber woher weißt du, ob a ein Inverses hat?

Gruß vom Ben

PS: Stell dich doch mal hier vor smile

smile

26.10.2004, 12:03

Poldi

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RE: Injektive Abbildung auf kommutativem Ring
Ich hab's ja geahnt!!! Werde mich jetzt kurz vorstellen gehen und dann drüber nachdenken. Bin aber heute nicht in Form, das merk' ich schon. Mal sehen....

26.10.2004, 12:16

Brynn

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Bring mal in
ax = ay
das ay auf die linke Seite. Dann steht auf der rechten Seite schonmal eine 0. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du jetzt links noch a ausklammerst, sollte dir auffallen, wo du die besagte Eigenschaft verwenden kannst (die uebrigens Nullteilerfreiheit heisst).

26.10.2004, 12:21

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Brynn
Bring mal in
ax = ay
das ay auf die linke Seite. Dann steht auf der rechten Seite schonmal eine 0. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du jetzt links noch a ausklammerst, sollte dir auffallen, wo du die besagte Eigenschaft verwenden kannst (die uebrigens Nullteilerfreiheit heisst).

"besagte" Eigenschaft? Das man diese Eigenschaft benutzen muss, hat sie ja noch gar nicht gesagt...

26.10.2004, 13:15

Calculator

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Tipp zu 2.)
Wie du richtig erkannt hast, ist nur noch zu zeigen, dass jedes von 0 verschiedene Element ein Inverses besitzt.
Die injektiven Abbildungen aus 1) genügen, um die Aussage von 2) zu zeigen. Welche (hier nützliche) Eigenschaft haben den injektive Selbstabbildungen auf einer endlichen Menge?

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26.10.2004, 15:40

Poldi

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Also 1) war mit dem Hinweis von Brynn ziemlich easy! Finde Nullteilerfreiheit übrigens 'nen schönen Begriff!!!

Zitat:

Das man diese Eigenschaft benutzen muss, hat sie ja noch gar nicht gesagt...

@ Ben Sisko: Hab ich wohl! Gut, vielleicht beim falschen Aufgabenteil, aber da finde ich Dich jetzt ein bißchen kleinlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Welche (hier nützliche) Eigenschaft haben denn injektive Selbstabbildungen auf einer endlichen Menge?

Also ich nehme doch mal an, dass diese auch surjektiv sein müssen. Hab ich zwar nirgendwo gefunden, scheint mir aber logisch.
Mal davon ausgehend, dass das so ist, würde ich jetzt mal mutig folgern:
da $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) \end{eqnarray*}$ injektiv und surjektiv, also bijektiv ist, ist sie auch invertierbar. Folgt also:

$\begin{eqnarray*} (f_{a} \cdot f_{a}^{-1})(x)= x \Rightarrow (f_{a} ( f_{a}^{-1}(x))= x \Rightarrow (f_{a} ( (ax)^{-1})= x \Rightarrow a(ax)^{-1}= x \Rightarrow aa^{-1}x^{-1}= x \end{eqnarray*}$

Sieht für mich irgendwie so aus, als wäre ich damit schon ziemlich dicht am Ziel und mir fehlt nur der letzte Kick. Oder bin ich jetzt ganz auf dem Holzweg?

Gruß Poldi

26.10.2004, 23:49

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Poldi
@ Ben Sisko: Hab ich wohl! Gut, vielleicht beim falschen Aufgabenteil, aber da finde ich Dich jetzt ein bißchen kleinlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mir ging´s ja nur um deinen Lernprozess Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich fand halt Brynns Tipp fast schon ein bisschen zu viel verraten.

Gruß vom Ben

Edit: Zur Surjektivität der Abbildung: Die musst du ja nirgendwo finden, das sollst du dir überlegen. Du hast n Elemente, die injektiv auf n andere Elemente abgebildet werden. Da kann ja keins übrig bleiben, auf das nicht abgebildet wird (lax formuliert).

27.10.2004, 00:03

Poldi

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Zitat:

Original von Ben Sisko

Mir ging´s ja nur um deinen Lernprozess Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du bist so gut zu mir!!! Mit Zunge

Mit Zunge

Zitat:

Original von Ben Sisko Du hast n Elemente, die injektiv auf n andere Elemente abgebildet werden. Da kann ja keins übrig bleiben, auf das nicht abgebildet wird (lax formuliert).

Das war das, was ich mit "scheint mir logisch" meinte. Deine "laxen" Formulierungen sind mir übrigens die Liebsten ...

Was sagst Du denn zu meinem Lösungsansatz???

Gruß Poldi

27.10.2004, 00:14

Ben Sisko

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$\begin{eqnarray*} f_a^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (ax)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist nicht dasselbe!

Aussserdem müsste bei dir jedes Element in diesem Körper zu sich selbst invers sein. Das kann zwar vorkommen, muss aber nicht in jedem endl. Körper der Fall sein.

27.10.2004, 00:37

Poldi

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Gott, bist Du wieder schnell ...

Zitat:

Original von Ben Sisko
$\begin{eqnarray*} f_a^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (ax)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist nicht dasselbe!

Ja, versteh' ich, hab's mir gerade an einem Bsp. klar gemacht.

Also, neuer Ansatz:

Also wenn das Ding surjektiv ist, muss ja gelten: Zu jedem $\begin{eqnarray*} y \in R \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f_a(x) = y \end{eqnarray*}$ , also ax = y

Und wie zum Geier bekomm ich jetzt die 1 da rein?? Ich muss doch zeigen, dass zu jedem Element x ein Element y existiert, so dass xy =1.

traurig

traurig

traurig

traurig

27.10.2004, 00:42

Brynn

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Zitat:

Original von Poldi
Zu jedem y aus R...

Da sagst du sogar selbst, wie du die 1 da rein bekommst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn zu jedem, dann auch zu ei... *g*

27.10.2004, 00:44

Ben Sisko

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Versuch mal das Inverse von a zu finden. Du weisst, dass $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ jedes Element aus R erreicht, wegen Bijektivität.

Nu hab ich´s fast verraten.

27.10.2004, 00:57

Poldi

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@Ben Sisko: Da ist einer sogar noch schneller als Du ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Brynn
Da sagst du sogar selbst, wie du die 1 da rein bekommst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn zu jedem, dann auch zu ei... *g*

ja wie jetzt??? Sollte das wirklich so einfach sein:

Wenn ich dann sage: Wegen der Surjektivität gibt es zu 1 ein Element x, so dass gilt ax = 1 für alle a aus R. Bin ich dann etwa schon fertig.

Zitat:

Original von Ben Sisko Versuch mal das Inverse von a zu finden.

Demnach müsste das Inverse von a wohl x sein!???

27.10.2004, 01:02

Ben Sisko

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Naja, x in der Funktionsgleichung ist eine Variable. Aber die Argumentation ist richtig. Natürlich nur nachdem du, wie oben, begründet hast, dass $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ surjektiv ist. Ausserdem gilt das ganze für jedes a aus R und damit hast du´s smile

smile

Der schnellere "jemand" war allerdings ein Mädel Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2004, 01:12

Poldi

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Der schnellere "jemand" war allerdings ein Mädel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Na, wenn die Dame mal nicht hervorragend zu Dir passt ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie immer TAUSEND DANK an alle fleißigen Helferlein.

Kümmere mich jetzt nochmal um den anderen threat, da kommt bestimmt auch noch 'ne Frage, falls jemand Lust hat.

Gruß
Poldi

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