Gruppen und Körper |
| 26.10.2004, 12:14 | Danny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gruppen und Körper Wenn (G,*) eine Gruppe ist und man auf GxG eine Verknüprung bestimmen muss, so dass (a,b)*(a´,b´)=(a*a´,b*b´). Ist dann (GxG,*) eine Gruppe?? Also ich einmal zu zeigen, dass G ein neutrales Element, nämlich (1,1) enthält: 1 existiert in G als neutrales Element für alle a. 1 ........ für alle b. --> (1,1) existiert in GxG. Das Inverse: (a,b)*(a,b)^(-1)=(a*a^(-1), b*b^(-1). Wenn G eine Gruppe und a ist ein Element dieser Gruppe, dann ist auch sein Inverses a^(-1) Element dieser Gruppe. Das gleiche gilt für b. --> (a^(-1),b^(-1)) ist eine Element von GxG. Da das Assoziativgesetz offensichtlich (bei der Multiplikation) gilt, muss ich das ja nicht nachweisen, jetzt bleibt nur noch die Abgeschlossenheit zu überprüfen, wenn (a,b)*(a´,b´)=(a*a´,b*b´). Wenn a,a`€ G --> a*a`€ G Das gleiche gilt für b,b`! --> (a*a´,b*b´) € GxG Kann ich so argumentieren? Ist das dadurch schon gezeigt? Und meine 2. Frage: In meinm Skript steht, dass wenn (K,+,*) ein Körper ist, so gilt nicht, dass (K x K,+,*) ein Körper ist...warum nicht?? Kann mir das jemand zeigen? Wäre echt nett von euch, wenn mir da jemand helfen könnte! Danke und schöne Grüße, danny. |
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| 26.10.2004, 12:46 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Zu 1. ist deine Argumentation vollkommen richtig. Da die Multiplikation in GxG komponentenweise funktioniert, ist (GxG, *) natürlich auch wieder eine Gruppe. Bei deiner zweiten Frage würde ich gerne mal wissen, ob die Multiplikation bei (KxK, +, *) auch wieder Komponentenweise definiert ist? Im Regelfall ist sie das nämlich nicht und damit wäre der Fall erledigt. |
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| 26.10.2004, 13:01 | Danny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ad 1) *freu* ad 2) Was ich wissen wollte ist, wenn ich die Verknüpfung wie in 1., aber mit + und* erkläre, ob dann (KxK,+,*) auch wieder ein Körper ist?? Ich kann die leider nicht sagen ob das auch komponentenweise erfolgt, aber wenn die Verknüpfung wie in 1. erklärt ist, eigentlich schon, oder? |
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| 26.10.2004, 13:02 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im "Regelfall", damit meinst du die Def. analog zu den komplexen Zahlen, ja? Aber dann hat man ja einen Körper, also wird wohl die komponentenweise Def. gemeint sein (man soll ja begründen, warum es kein Körper ist). Edit: @Danny: Überlege, was das neutrale Element sein müsste. Gäbe es dann für alle Elemente außer (0,0) ein Inverses? |
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| 26.10.2004, 13:16 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, ich meine allgemeiner: Wenn man ein Kartesisches Produkt aus einem Körper bildet erhält man einen Vektorraum. (gut, Skalarmultiplikation fehlt z.B.). Die Multiplikation im Vektorraum ist aber meistens nicht komponentenweise und auch nicht unbedingt kommutativ. Bei den komplexen Zahlen z.B. hat man keine komponentenweise Multiplikation. Die Verknüpfung sieht anders aus und schon hat man wieder einen Körper. Ist sie allerdings hier komponentenweise wie in der Gruppe dadrüber definiert, so scheitert es an ein paar kritischen Elementen (x,0) oder (0,y). (Überlege, wie es sich hier mit der Existenz und Eindeutigkeit der Inversen verhält). |
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| 26.10.2004, 13:53 | Danny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! "Ist sie allerdings hier komponentenweise wie in der Gruppe dadrüber definiert, so scheitert es an ein paar kritischen Elementen (x,0) oder (0,y). (Überlege, wie es sich hier mit der Existenz und Eindeutigkeit der Inversen verhält)." Aha...also in einem Körper muss ja jedes Element außer 0 (!) ein multiplikatives Inverses Besitzen. Also nur (0,0) besitzt kein multiplikatives Inverses und es ist trotzdem ein Körper. Bei (x,0) s(ist nicht 0) ieht das schon anders aus, denn es besitzt kein eindeutiges multiplikatives Inverses, habe ich das richtig verstanden?? Ja, und bei (0,y) analog. Und was ist wenn ich die beiden multipliziere? Da kommt (0,0) heraus...was bedeutet das??? Das ist doch das additiv neutrale Element. Das sind nur mehr Interessensfragen, ich sehe schon warum das kein Körper ist!! Danke, lg Danny. |
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| 26.10.2004, 14:16 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, denkbar schlecht für einen Körper, gell? 
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| 26.10.2004, 14:32 | Brynn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Die Argumentation ist ungenuegend. Danny hat leider weder bewiesen, dass (1,1) das neutrale Element in GxG ist, noch dass (a^-1, b^-1) das zu (a,b) inverse Element ist. Auch das Assoziativgesetz gilt nicht automatisch. In dem Fall ist es zwar einfach zu zeigen, aber das hat Danny nicht getan. @Danny Wenn das eine Uebungsaufgabe ist, die bepunktet wird, empfehle ich eine gruendliche Ueberarbeitung. Hilfestellung: Um zu zeigen, dass (1,1) das neutrale Element ist, musst du den Ausdruck (1,1)*(a,b) berechnen und nachweisen, dass er gleich (a,b) ist. Die reine Existenz des Elementes (1,1) besagt noch nichts. Die Assoziativitaet muss einfach nachgerechnet werden. Aber es vererbt sich eben nicht alles automatisch. |
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