guT (größter ungerader Teiler)

16.11.2003, 19:02	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
guT (größter ungerader Teiler) Was der Titel nicht sofort aussagt ist, dass es sich hierrum um ein Rätsel handelt. Ich bin jetzt zwar etwas hin und her gerissen, aber man (kann ich auch machen) kann es ja noch später verschieben... Die Aufgabe ist nicht sonderlich schwer: Es wird für jedes m, für das gilt n+1<=m<=2n der größte ungerade Teiler ermittelt. Diese zusammenaddiert ergeben n². Warum? Gefragt ist hierbei nach einem Beweis. PS: Schreibt mal, ob ihr das als Thread-Rätsel handhaben wollt oder als pn-Rätsel?
17.11.2003, 21:35	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
thread rätsel machen mehr sinn
17.11.2003, 22:19	alpha	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann postet mal eure ansätze...
04.02.2004, 06:27	koller74	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: guT (größter ungerader Teiler) Hallo alpha! Bin über Deine Parallelogrammaufgabe hier gelandet. Wenn man das mal in eine Formel packt ergibt das: $\begin{align} \Bigsum_{i=n+1}^{2n}~guT_{(i)}=n^2 \end{align}$ (Formel1) guT(i) ist also der grösste ungerade Teiler von i. Es gibt da wohl einen Zusammenhang mit $\begin{align} \Bigsum_{i=1}^{n}~2i-1=n^2 \end{align}$ Aber wie man das so einfach beweist, da komme ich jetzt auch nicht drauf. Also Beweis von Formel1 durch vollständige Induktion n=1: $\begin{align} \Bigsum_{i=2}^{2}~guT_{(i)}=guT_{(2)}=1=1^2 \end{align}$ Annahme: Formel1 gilt für n; zu zeigen: Formel1 gilt für n+1 $\begin{align} \Bigsum_{i=n+2}^{2n+2}~guT_{(i)}=(n+1)^2=n^2+2n+1 \end{align}$ $\begin{align} guT_{(n+2)}+guT_{(n+3)}+...+guT_{(2n)}+guT_{(2n+1)}+guT_{(2n+2)}=n^2+2n+1 \end{align}$ Addiert man auf beiden Seiten guT(n+1) kann man Formel1 von der kompletten Gleichung abziehen und erhält $\begin{align} guT_{(2n+1)}+guT_{(2n+2)}=2n+1+guT_{(n+1)} \end{align}$ da 2n+1 ungerade folgt guT(2n+1)=2n+1 also bleibt in unserer Gleichung noch übrig $\begin{align} guT_{(2n+2)}=guT_{(n+1)} \end{align}$ 1.Fall n gerade: => guT(n+1)=n+1 Annahme: sei k der grösste ungerade Teiler von 2n+2 und k>n+1 dann gibt es ein j so, dass kj=2n+2=2(n+1) da k>n+1 folgt j<2 folgt j=1 folgt k=2n+2 folgt k ist gerade Widerspruch zur Annahme! folgt guT(2n+2)=n+1 2.Fall n ungerade: Hier komme ich nicht so recht auf einen Ansatz für den indirekten Beweis wie im 1.Fall. Kann mir jemand helfen? (bzw. stimmt das eigentlich alles bis hierher?) Grüsse von Koller
04.02.2004, 15:00	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: guT (größter ungerader Teiler) gut(2n+2) =? gut(n+1) ist nach meinem Ermessen 'trivial', da 2n+2 = 2(n+1) =2P1...Pk, wobei P1....Pk die eindeutige Primfaktorzerlegung von n+1 ist. jeglicher ungerader Teiler von (2n+2) muss folglich im Produkt P1...Pk =n+1 enthalten sein und damit auch der größte ungerade. Folglich ist gut(2n+2)=gut(2*(n+1))=gut(n+1) ...
04.02.2004, 16:33	koller74	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: guT (größter ungerader Teiler) Danke für die Hilfe! Aber dafür hab ich letzte nacht wohl zu lange vorm Bildschirm gehockt
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