Gleichung mit mehreren Unbekannten

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Yvonne Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit mehreren Unbekannten
Hallo,

ich habe mir gerade das Thema Gleichung mit 3 unbekannen durchgelesen aber leider überhaupt nichts verstanden. Vielleicht würde mir das nochmal jemand erklären, wie ich das folgende Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen kann.

3a - 2b + c - 14 = 0
6 b - a - 2 c - 1 = 0
5 c - 3 b - a - 4 = 0

Vielen Dank! Ich muss das ganze morgen für eine Ex wissen.

*bussi* Yvonne
Joerghamster Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

3a - 2b + c - 14 = 0
6 b - a - 2 c - 1 = 0
5 c - 3 b - a - 4 = 0


eigentlich recht simple

( erschlagt mich wenn ich jetzt was falsches sage . . . )

du nimmst dir eine gleichung und löst diese z.b. nach a auf

in deinem beispiel die 2.te

da kommt dann z.b. a = 1 - 6b + 2c raus

die setzt du z.b. in die erste gleichung ein

3(1 - 6b + 2c) - 2b + c -14 = 0

dann bekommst du

7c - 20b -11 = 0

die löst du dann z.b. nach b auf

und setzt b wieder irgendwo geeignetes ein

Edit Fettgeschrieben = korrigiert
Yvonne Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Joerghamster
[QUOTE]
3a - 2b + c - 14 = 0
6 b - a - 2 c - 1 = 0
5 c - 3 b - a - 4 = 0

da kommt dann z.b. a = 1 - 6b + 2c raus

die setzt du z.b. in die erste gleichung ein

(1 - 6b + 2c) - 2b + c -14 = 0



Wo ist die 3 vor dem a geblieben? Ist die dann nicht mehr dabei oder seh ich die nur nicht?

Zitat:
Original von Joerghamster
[QUOTE]

dann bekommst du

3c - 8b -13 = 0

die löst du dann z.b. nach b auf

und setzt b wieder irgendwo geeignetes ein


Bin ich jetzt ganz dumm? Wie wird die nach b aufgelöst? Was mach ich dabei mit dem c?
Joerghamster Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Joerghamster
da kommt dann z.b. a = 1 - 6b + 2c raus


welche 3 vor dem a ?? lies genau smile

Zitat:
Original von Joerghamster
du nimmst dir eine gleichung und löst diese z.b. nach a auf

in deinem beispiel die 2.te



diese wäre 6 b - a - 2 c - 1 = 0

umgeschrieben

-a + 6b -2c -1 = 0 / +a

a = 6b -2c -1 ( hatte zwar nen vorzeichendreher drinnen aber war auch nur schnell im kopf gerechnet )

also muß es heißen

3( 6b - 2c -1) - 2b + c -14 = 0

16b - 5c -17 = 0

nur mal als frage was für eine schulstufe / klasse besuchst du

diese gleichung nach c auflösen . . . . rechne einfach + c, damit steht c allein und die gleichung ist anch c aufgelöst. elementare gleichungs umformungen
Yvonne Auf diesen Beitrag antworten »

3 a - 2b + c - 14 = 0

Die 3?

4b - c -15 = 0 / +c
c = 4b - 15

und das müsste ich dann z. B. in die 3. Gleichung einsetzen?

5 (4b - 15) - 3 b - (6b -2(4b - 15) -1) - 4 = 0

oder schon wieder falsch?
Joerghamster Auf diesen Beitrag antworten »

also irgendwie rechnest du mit anderen formeln als ich


3a - 2b + c - 14 = 0
6 b - a - 2 c - 1 = 0
5 c - 3 b - a - 4 = 0

diese formeln hattest du gepostet

3a - 2b + c - 14 = 0 <== erste formel

6 b - a - 2 c - 1 = 0 <== zweite formel

5 c - 3 b - a - 4 = 0 <== dritte formel


und ich hatte die zweite formel verwendet

aber wie du weitergerechnet hast ist zu 100% richtig

jetzt hast du nur noch b in der formel

also löse sie nach b auf und du hast die lösung für b

die setzt du dann in

4b - c -15 = 0

ein und erhälst die lösung für c

usw
 
 
Yvonne Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank. Des ist aber ne ewige Rechnerei bis ich die Lösung hab oder? Gehts auch schneller? *g*
Joerghamster Auf diesen Beitrag antworten »

deswegen ja die frage in welcher klasse auf welcher schule du bist. es gibt einfachere möglichkeiten aber ich hab keine ahnung in wie weit ihr die schon durchgenommen habt
Yvonne Auf diesen Beitrag antworten »

11. Klasse Fachoberschule. Wir haben noch das Gleichsetzungsverfahren und Additionsverfahren gemacht. Aber die hab ich überhaupt nicht verstanden. Ich hatte die letzten 2 Jahre kein Mathe.
Joerghamster Auf diesen Beitrag antworten »

gleichsetzungsverfahren ist dem einsetzungsverfahren sehr ähnlich

und zwar löst du zwei gleichungen nach ein und der selben variable auf das da z.b. steht

a = 1b+3c
b= 2b+5c

nun machst du das was schon der name sagt, du setzt die beiden gleich

also a=a ( muß ja so sein ) woraus folgt das

1b+3c = 2b+5c

das kannst du dann z.b. nach b auflösen

also vom prinzip her genau wie das einsetzungsverfahren


das schnellste jedoch ist nunmal das additionsverfahren


(1) 3a - 2b + c - 14 = 0
(2) 6 b - a - 2 c - 1 = 0
(3) 5 c - 3 b - a - 4 = 0


gehen wir mal von deinen gleichungen aus

als erstes mußt due sie mal alle gleich anordnen ( grundvoraussetzung das du siehst was du machen kannst

also schreiben wir sie um in

(1) 3a - 2b + c - 14 = 0
(2) - a + 6b - 2c - 1 = 0
(3) - a - 3b + 5c - 4 = 0

ändert ja nichts am ergebniss, da du nur die einzelnen faktoren wo anderst hingeschrieben hast

als nächstes würde ich die reihenfolge noch tauschen

(3) - a - 3b + 5c - 4 = 0
(2) - a + 6b - 2c - 1 = 0
(1) 3a - 2b + c - 14 = 0

soo als nächstes mußt du wissen, das du eine gleichung mit einem faktor multiplitzieren darfst ohne das sich etwas ändert am ergebniss. ein faktor is einfach ne zahl

also nehmen wir jetzt gleichung (3) *(-1), ändert ja nichts. ich schreib aber 3.1, da das nur ein zwischenschritt ist.

(3.1) a + 3b - 5c + 4 = 0
(2) - a + 6b - 2c - 1 = 0
(1) 3a - 2b + c - 14 = 0

wenn du jetzt (2) mit (3.1) addierst
(3.1) a + 3b - 5c + 4 = 0
(2) - a + 6b - 2c - 1 = 0

gehst du faktorenweise vor

also -a +a = 0 , 6b+3b = 9b , -2c +(-5c) = -7c , -1 + 4 = 3 und 0 + 0 = 0

also wird aus (2) ein (2.1) das so aussieht

(2.1) 0 + 9b - 7c + 3 = 0

damit siehst das gesammte dann so aus

(3) - a - 3b + 5c - 4 = 0
(2.1) 0 + 9b - 7c + 3 = 0
(1) 3a - 2b + c - 14 = 0

jetzt nimmst du (3) *3

(3.1) -3a - 9b + 15c - 12 = 0

dann die (2.1) mit (3.1) addieren

(3.1) -3a - 9b + 15c - 12 = 0
(1) 3a - 2b + c - 14 = 0

faktorweise

3a-3a = 0 , -2b +(-2b) = -4b , 15c + c = 16c , -12 + (-14) = -26 und 0+0=0

daraus

(3) - a - 3b + 5c - 4 = 0
(2.1) 0 + 9b - 7c + 3 = 0
(1.1) 0 - 4b + 16 c - 26 = 0

der letzte schritt is mer denkarbeit

wir addieren 4/9*(2.1) auf (1.1)

dabei kürz sich die 9 und 4 bleibt übrig ( anderst gesagt geteilt durch 9 mal 4 )

damit ist

-4b + 4b = 0 , 16c + (- * 7c ) = 9 c , -26 + 3 = 23

also

(1.2) 0 - 0 + 9 c - 23 = 0


jetzt bei allen formeln noch die reinen zahlen nach rechts

(3) - a - 3b + 5c - 4 = 0
(2.1) 0 + 9b - 7c + 3 = 0
(1.2) 0 - 0 + 9 c - 23 = 0

also

(3) - a - 3b + 5c = 4
(2.1) 0 + 9b - 7c = -3
(1.2) 0 - 0 + 9 c = 23

und schon hast du die lösung für c direkt da stehen, die setzt du in (2.1) ein und hast die lösung für b und die beiden lösungen dann in (3) und due hast die lösung für a

sieht jetzt zwar extrem viel aus, aber nur weil ich alles sehr ausführlich geschrieben habe.

vom zeitfaktor her geht das wenn man es ein paar mal gemacht hat am schnellsten

Gruß
Akerbos Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte man aber in der Schule mal gemacht haben O.o Und wie kommst du dazu, 2 Jahre kein Mathe gehabt zu haben? *wunder*

Da gibts doch auch den Gaußschen Algorithmus zu... da weiß ich aber auch net mehr 100%, wie das ging...
Yvonne Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war zuerst Hauptschule, dann Wirtschaftsschule (2 Jahre) und da hat man eben kein Mathe und jetzt FOS. Darum ist das für mich alles neu. Auf jeden Fall Danke, habt mir sehr geholfen.
Michellllllle Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit mehreren Unbekannten
Hallo Yvonne.
Ich habe das gleiche Problem wie du...
Bin in der 11. Klasse der Wirtschaftsschule und bin schon ganz verzweifelt weil ich nichts kapier. dank den Erklärungen unten hab ichs aber jetzt verstanden vielen dank ciao
Joerghamster Auf diesen Beitrag antworten »

Akerbos, der Gauss-Algorythmus ist das additionsverfahren das ich beschrieben habe Augenzwinkern

und 2 jahre mathe kann schnell mal vorkommen

Yvonne und Michellllllle auch wenn ihr meint es verstanden zu haben, sucht euch übungsaufgaben und übt es möglichst oft. denn nur so merkt ihr ob ihr es wirklich verstanden habt smile

Gruß
Akerbos Auf diesen Beitrag antworten »

@ Joerg: hups Augenzwinkern naja.. *hust* lange her... konnte mich noch an die Dreiecksform usw erinnern... also ich könnte so ein Teil lösen, aber ich weiß mehr, wie der Kram heißt und so Big Laugh
tubias Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yvonne
3 a - 2b + c - 14 = 0

Die 3?



das frag ich mich auch

wenn die erste Gleichung so aussieht 3a - 2b + c -14 = 0 und man a einsetzt dann muss das doch so sein 3(1 - 6b + 2c) - 2b + c -14 = 0 oder bin ich da doch auf dem Holzweg?


mfg tobias
Joerghamster Auf diesen Beitrag antworten »

nein is richtig. dachte sie meint die formel die ich umgeformt hab . . . . . aber bei der eingesetzten feht die 3 geschockt

soo mal schnell korrekturstift angesetzt unglücklich peinlich peinlich Forum Kloppe
tubias Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Super, dann ist ja alles klar!

mfg tobias
Sahrali Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Yvonne!

Ich würde sagen, dass der von Joerghamster vorgeschlagene Lösungsweg etwas kompliziert und irretierend für einen Neu- bzw. Wieder-Einsteiger ist:

(1) 3a - 2b + c - 14 = 0
(2) 6 b - a - 2 c - 1 = 0
(3) 5 c - 3 b - a - 4 = 0

Versuch mal bitte deine a's, b's und c's auf der Seite und deine d's auf der anderen Seite der Gleichung untereinander zu kriegen:
(1) 3 a - 2 b + c = 14
(2) - a +6 b - 2 c = 1
(3) - a - 3 b +5 c = 4

(2) und (3) miteinander subtrahieren:

(2) - a +6 b - 2 c = 1
(3) - a - 3 b +5 c = 4
=> 0+ 9 b - 7 c = - 3 (I)

(2) mit 3 multiplizieren und (1) und (2) miteinander addieren:

=> 16b -5 c = 17 (II)

Nun (I) und (II) untereinander:
9 b - 7 c = - 3 (I)/ * (-5)
16 b - 5 c = 17 (II)/ * (7) (Um c wegzukriegen)
---------------------------------------------------------------------------------
=> -45 b +35c = 15
112 b - 35c = 119 (nun beide addieren)
= 67 b = 134/:67
=> b = 2

Nun b in (I) oder (II) eingesetzt, erhält man für c = 3 und beide in (1), (2) oder (3) eingesetzt, erhält man für a = 5
L={5;2;3}

Ich meine, so sollte man es machen, wenn man in dieses Thema neu eingestiegen sein sollte!
Hajo Auf diesen Beitrag antworten »

jopp es gibt Gausalgorhytmus oder Pivot verfahren smile ! Wobei ich gauß lieber mag!
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