Zeige Injektivität

26.10.2004, 18:49

Larry

Zeige Injektivität

Unser Prof sieht vieles als trivial an... wenn ich mir folgende Aufgabe anschau, mag das sein, aber wie verd*':% nochmal soll ich das korrekt aufschreiben, damit es als Beweis gilt?

Die Aufgabe:

Seien M,N Mengen und f: M->N eine Abb.

Für A c M gilt A c f^ -1(f(A)). Genau dann gilt A = f^ -1(f(A)) für jedes A c M, wenn f injektiv ist.

Habe mir überlegt:

Wenn f: M->N injektiv ist, und es existiert eine Unkehrabbildung f^ -1 für f(A), dann muss f im Bezug auf A doch folglich bijektiv sein, da per Definition (f^ -1 o f) (A) = id A gilt.
Also existiert für jedes a in A genau ein f(a) in f(A) : f(a) = f(a) und für jedes f(a) in f(A) genau ein a in f^ -1(A) : f^ -1(f(a)) = a...

Aber wie schreibe ich das auf? Ich glaub ich bin verwirrt...

Gruß

27.10.2004, 01:12

Ben Sisko

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RE: Sehr trivial... :o( (injektive Abb.)
Mit $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ist erstmal keine Umkehrabbildung gemeint, sondern das Urbild. Unter diesem neuen Lichte denk nochmal drüber nach. Augenzwinkern

Gruß vom Ben

27.10.2004, 02:21

lupo1977

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So ein Urbild ist Mengenwertig zu verstehen. Hoffe das hilft?

27.10.2004, 06:40

Poff

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Ist f injektiv dann hat f ein Linksinverses,
Ist f surjektiv dann existiert ein Rechtsinverses
Ist f bijektiv dann existieren beide, sind gleich und damit das Inverse

.

27.10.2004, 08:22

Larry

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RE: Sehr trivial... :o( (injektive Abb.)
Mmmmh!

Rechtsinvers, Linksinvers - hatten wir noch nicht.

Aber das mit dem Urbild...

Also, wenn ich mir die Abbildung f: M -> N anschaue und davon ausgehe, dass f injektiv ist,
heißt es ja nicht nur, dass f(a)=f(b) => a=b, also für alle n in N höchstens ein m in M existiert : f(m)=n,
sondern auch (sonst wäre es ja keine Abb.) das für Alle m in M genau ein n in N existieren muss,
folglich auch für alle a in A genau ein n in N existieren muss (wenn A c M) : f(m) bzw. f(a) = n.

Desweiteren folgt aus der oben geschilderten Aufgabe:

1. f(A) := {n in N| Es exist. ein a in A : f(a) = n}

2. f^ -1(f(A)) := {a in M| f(a) in f(A)}

Wenn ich die Aufgabe einigermaßen verstanden habe,
dann wird doch letzten Endes das Urbild des Bildes einer jeden Teilmenge A c M auf sich selbst abgebildet, wenn f injektiv ist. Und das Urbild des Bildes einer Teilmenge ist doch immer die Menge selbst, wenn f injektiv ist (sogar nicht auch bei Surjektivität), oder?

Hiiiiilfe! traurig

27.10.2004, 18:47

moi

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RE: Sehr trivial... :o( (injektive Abb.)
hi du studierste zufällig in bochum anner rub??? im 1.sem

27.10.2004, 19:51

mary_m

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Sehr trivial... :o( (injektive Abb.)
bin auch anner RUB und hab mich auch schon sehr mit diesem aufgabenzettel beschäftigt, jedoch ohne erkennbaren erfolg... die aufgabe 2 mit dem potenzmengen habt ihr nicht schon zufällig gelöst?
auf jeden fall wollen wir uns morgen nach der vorlesung vor die fachschaft setzen und uns gegenseitig solange verwirren, bis der zettel erledigt ist... Seid herzlichst eingeladen!
Bis denne

ach ja: und am FR nach der vorlesung ist der Ana-zettel dran...

27.10.2004, 20:08

Larry

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Ja ein Ersti!

Das sind aber auch Hammer Aufgaben! Bin Morgen dabei!

Gleich kommt was zu 1a)!

27.10.2004, 21:25

Larry

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RE: Sehr trivial... :o( (injektive Abb.)
@ Mary M

Leider finde ich keinen Ansatz zur Potenzmengenaufgabe:

Aber wenn's hilft. Der Hinweis sagt aus, dass bei gegebener Bedingung die Abbildung P'->P'' bijektiv ist...

27.10.2004, 22:19

mary_m

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Sehr trivial... :o( (injektive Abb.)
@ Larry

also wenn ich ganz ehrlich bin, bin ich überhaupt nicht mehr motiviert mich an diese sch*** aufgaben zu setzen... ich versuch mich von nun von dem abzulenken, indem ich meine nachbarn mit meiner musik störe... Rock

aber ich möchte noch erwähnen, dass ich für die 1b und 1d ne lösung habe, diese aber mir nicht so ganz gefällt, da ich nicht weiß, wie die form aussehen soll, doch mehr dazu morgen...

See ya!

27.10.2004, 22:27

cheetah_83

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RE: Sehr trivial... :o( (injektive Abb.)

Zitat:

Original von Larry
@ Mary M

Leider finde ich keinen Ansatz zur Potenzmengenaufgabe:

Aber wenn's hilft. Der Hinweis sagt aus, dass bei gegebener Bedingung die Abbildung P'->P'' bijektiv ist...

hi
auch ich bin ersti an der RUB
zu der potenzmengen aufgaben schaut mal hier

06.11.2004, 18:07

mary_m

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Musterlösung
Damit's vollständig ist: Hier die Musterlösung aus der UNI:

zu zeigen:
i) A c f^-1(f(A))
ii) A = f^ -1(f(A)) für jedes A c M, wenn f injektiv

zu i)

Sei
$\begin{eqnarray*} x\in A \Rightarrow f(x)\in f(A)\Rightarrow x\in f^{-1} (f(A))\Rightarrow A c f^{-1} (f(A)) \end{eqnarray*}$

zu ii)

"=>" Sei f^-1(f(A)) c A für jedes A c M
Insbesondere ist also auch für A:={x}
f^-1(f(A)) c A => f^-1(f{x}) c {x}

Annahme: $\begin{eqnarray*} \exists y\neq x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(f(x))= \{x,y\} \Rightarrow \{ x,y\} c \{ x\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$
das ist ein Widerspruch, somit muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1} = x_{2} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f bijektiv

"<=" f sei injektiv:
zu zeigen: f^-1(f(A)) c A für jedes A c M
Sei
$\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(f(A)) \Rightarrow f(x)\in f(A) \Rightarrow \exists x^{|}\in A:f(x^{|}) = f(x) \end{eqnarray*}$
f injektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x = x^{|} \Rightarrow x\in A \end{eqnarray*}$

...so das wär's... Dääh!

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