Beweis

26.10.2004, 19:00	Magnus23	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Hallo Leute. Ich habe folgende Aufgabe im Mathestudium bekommen: Beweisen Sie, daß für alle natürlichen Zahlen n gillt (n! : (k!+(n-k)!))* 1/(n^k) < 1/(k!) ; (k=0, 1, 2,...) Kann mir jemand sagen, wie das geht, oder es mir sogar vorrechnen? Ich habe nämlich ein absolutes BlackOut bei dieser Aufgabe.
26.10.2004, 19:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du sicher, daß die Angabe so stimmt? Mich stört das "+", denn mit "·" wäre es vorne gerade ein Binomialkoeffizient.
26.10.2004, 19:28	Magnus	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Ja, du hast recht. jetzt seh ich den fehler auch. (n! : (k!(n-k)!)) 1/(n^k) < 1/(k!) ; (k=0, 1, 2,...) jetzt stimmt es hoffentlich! DANKE!
26.10.2004, 19:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und kriegst du den Beweis jetzt alleine hin?
26.10.2004, 19:44	Magnus	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis nicht wirklich
26.10.2004, 19:58	guest	Auf diesen Beitrag antworten »
die ungleichung stimmt aber zb für k=1 nicht (k=1: 1 < 1) oder meintest du "kleiner gleich" anstelle von "kleiner"?
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26.10.2004, 20:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal muß $\begin{eqnarray} n>0 \end{eqnarray}$ sein, sonst macht der Term keinen Sinn. Die Fälle $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ behandelst du gesondert durch direktes Ausrechnen von linker und rechter Seite. Dann muß noch der Fall $\begin{eqnarray} 2 \leq k \leq n \end{eqnarray}$ untersucht werden. Beachte, daß du dann schreiben kannst: $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots \left( n-(k-1) \right)}{k!} \end{eqnarray}$ Der Grund ist einfach: Kürzen durch $\begin{eqnarray} (n-k) \cdot \left( n-(k+1) \right) \cdot \left( n-(k+2) \right) \cdots 2 \cdot 1 \end{eqnarray}$ . Und wenn du das Ganze jetzt noch mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^k} \end{eqnarray}$ multiplizierst, so schreibst du das $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray}$ in den Nenner des Bruches, während du das $\begin{eqnarray} k! \end{eqnarray}$ aus dem Nenner herausziehst und als Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ danebenschreibst. Und dann beachtest du, daß $\begin{eqnarray} n^k = n \cdot n \cdot n \cdots n \end{eqnarray}$ (mit $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Faktoren) ist und gibst jedem Faktor im Zähler - es sind auch gerade $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Stück - ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . ... und jetzt habe ich fast alles verraten EDIT: Ja, es muß $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ heißen
26.10.2004, 20:19	guest	Auf diesen Beitrag antworten »
mein vorschlag: vollständige induktion. also für k=0 ausrechnen, dann als wahr annehmen und für k -> k+1 beweisen. kleiner tipp: im beweis kann man beide seiten der ungleichung mit (k+1) erweitern, dann hat man die lösung schon quasi vor sich. mfg markus
27.10.2004, 07:13	Magnus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich glaub jetzt krieg ich es hin

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