Kompaktheit

26.10.2004, 21:23

LeereMenge

Kompaktheit

Hallo, ich haete mal ne frage. inwieweit sind folgende sets kompakt.

$\begin{eqnarray*} \{(x,y)\in R^2:y=x^2, 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ }
$\begin{eqnarray*} \{(x,y,z)\in R^3:x^2+3y^2+2z^2\leq 4 \end{eqnarray*}$ }
$\begin{eqnarray*} \{(x,y)\in R^2:xy=1 \end{eqnarray*}$ }
$\begin{eqnarray*} \{(x,y)\in R^2:0<x^2+y^2\leq 2 \end{eqnarray*}$ }

Da sie meiner meinung nach alle abgeschlossen und beschraenkt sind muessten sie doch alle kompakt sein. oder hab ich das prinzip verfehlt?
danke

ach und sorry wegen den klammern. latex wollte die irgendwie nicht drin haben deswegen musste ich die hinteren nach dem latextext reinsetzten. keine ahnung wieso.

26.10.2004, 21:41

carsten

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Steht bei der letzten Menge wirklich $\begin{eqnarray*} 0<x^{2} .... \end{eqnarray*}$ da?
Dann solltest Du bei dieser Menge die Abgeschlossenheit noch einmal ueberdenken.

Auch bei der dritten Menge solltest Du noch einmal ueberdenken, ob sie wirklich abgeschlossen und beschraenkt ist.

Ansonsten ist es richtig, dass eine Menge im $\begin{eqnarray*} R^{n} \end{eqnarray*}$ kompakt ist gdw. sie abgeschlossen und beschraenkt ist.

Gruesse Carsten

27.10.2004, 12:48

LeereMenge

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Ah, ich hoffe mal das die dritte menge nicht beschraenkt ist und die vierte nicht abgeschlossen. dann hab ichs geblickt. Danke nochmals. nur eine frage. ist die dritte menge abgeschlossen? ich stell sie mir als winkelhalbierende durch den R^2 vor. damit muesste sie ja abgeschlossen sein. kann ich so argumentieren, dass fuer jeden punkt der menge $\begin{eqnarray*} xy\neq 1 \end{eqnarray*}$ der punkt (x+epsilon)(y+epsilon) ebenfalls nicht element der menge xy=1 ist?

27.10.2004, 13:32

Poff

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... die dritte x*y=1 ist weder beschränkt noch abgeschlossen.
.

27.10.2004, 14:40

Gast

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Warum sollte sie denn nicht abgeschlossen sein?
LeereMenge gibt doch die Idee dafür, dass das Komplement eine offene Menge ist.

27.10.2004, 15:00

pumuckl

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bei der dritten menge handelts sich nicht um die Winkelhalbierende sondern um die Hyperbel (Umstellen ergibt y=1/x)

Definition von Abgeschlossenheit: Alle Häufungspunkte von M liegen in M. Das heißt jede konvergente Folge auf M hat ihren Grenzwert auf M.
$\begin{eqnarray*} \mbox{sei jetzt }(x,y)_{n \in \mathbb N} \mbox{ eine solche konvergente Folge mit Grenzwert } (a,b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a= \lim_{n\to\infty} x_n, b=\lim_{n\to\infty} y_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ab=\lim_{n\to\infty}x_n \lim_{n\to\infty}y_n = \lim_{n\to\infty}(x_n y_n) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (a,b) \in M \Rightarrow \mbox{M ist abgeschlossen} \end{eqnarray*}$

27.10.2004, 15:47

Poff

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Ok, das 'Problem' liegt an der Paarung von 'x' und 'y' zu (x|y),
sodass z.B. (0|y) als Häufungspunkt nicht in Betracht kommt,
obwohl 0 für ne einzelne 'Komponente' HP ist ...
.

27.10.2004, 16:08

LeereMenge

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das heisst sie ist nicht abgeschlossen, weil
z.B. die folge x=n gegen undendlich konvergiert und die folge y=1/n gegen null. das produkt der folgen an sich zwar element der menge yx=1 ist, das produkt der beiden grenzwerte jedoch nicht?

27.10.2004, 16:33

Poff

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... so hatte ich das Anfangs gesehen, aber (0|y) oder (x|0) sind
keine HP für endliche x, y und Unendlich ist kein existierender GW,
sodass das Prob nicht auftaucht.

Nimmst allerdings Unendlich als Erweiterungselement mit zu R hinzu,
zu R* sozusagen, dann ist das auf R* nicht mehr abgeschlossen.

.

28.10.2004, 00:53

WebFritzi

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Zitat:

Original von Poff
Nimmst allerdings Unendlich als Erweiterungselement mit zu R hinzu,
zu R* sozusagen, dann ist das auf R* nicht mehr abgeschlossen.

Wieso?

28.10.2004, 01:25

Poff

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wegen (0|oo) bzw (oo|0) ... HP, der aber nicht in der Menge ist,
... oder gilt nun 0*oo = 1 ??
.

28.10.2004, 11:27

WebFritzi

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Wenn man die Menge im $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbf{R}^2} \end{eqnarray*}$ betrachtet, dann hast du wohl recht. Wenn du aber auch Paare (x,y) aus diesem Raum zulässt, dann ist das Produkt xy nicht definiert.

28.10.2004, 15:14

LeereMenge

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Bin jetzt ein bisschen verwirrt. also in R ist meine menge abgeschlossen, da die folge x=n kein lim hat und das produkt limx_n*limy_n somit nicht existiert. In Ru{oo} allerdings schon deswegen ist die menge nicht abgeschlossen. ist ein paar (0,oo) im Ru{oo} definiert? ich dachte eigentlich es sei 0.

28.10.2004, 15:47

Poff

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... es war doch nur die Frage zu beantworten ob sie im R²
abgeschlossen ist und das ist sie wohl, weil für alle x, y aus R
sowohl (x|0) als auch (0|y) keine HP der Menge sind und in Folge
keine der 'strittigen Punkte' (0|y) bzw (x|0) in der Menge
enthalten zu sein brauchen ...
.

28.10.2004, 18:59

LeereMenge

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danke an alle.

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