Bestimmung von: Infinum / Supremum --> Minimum / Maximum

26.10.2004, 21:29	ALT+F4	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung von: Infinum / Supremum --> Minimum / Maximum hi hab Probleme die 4 Sachen bei folgenden Mengen zu beweisen: A:= {1/(n+1)+(1+(-1)^n)/2n : n aus \|N} B:= {x + (1/x) : x aus (1/2,2]} C:= {x aus R exestiert y aus R mit (x+2)^2 + 4y^2 < 9} vielen dank für eure mühen! mfg.
27.10.2004, 01:44	pumuckl	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal das ganze für A: Du hast für ungerade n einfach die Brüche mit geradem Nenner, da der zweite Summand dann wegfällt, also 1/2, 1/4 usw. Davon ist das Maximum (und damit Supremum) 1/2, Minimum gibts nicht, aber Infinum, und das ist 0 Für gerade n gibts einen Bruch mit ungeradem Nenner plus einen mit dem nächstkleineren geraden Nenner, also 1/3 + 1/2 usw. Das Maximum davon ist 1/3 + 1/2 = 5/6 und damit größer als 1/2. Minimum gibts wieder nicht, da die Brüche beliebig klein werden, Infinum ist wieder 0 insgesamt ergibt sich also: Max(A) = Sup(A) = 5/6, Inf(A) = 0 nun zu B: betrachtet man die Funktion $\begin{eqnarray} f : (1;2] \to \mathbb R, f(x) = x+\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ und leitet sie ab, merkt man, dass sie streng monoton steigend ist. Das Maximum von B liegt daher bei f(2) = 2,5 Da das Intervall nach links offen ist, gibts da kein Minimum, nur ein infinum, nämlich $\begin{eqnarray} f(1) = 2 \notin B \end{eqnarray}$ , da 1 nicht zum Intervall gehört also: Sup(B) = Max(B) = 2,5; Inf(B) = 2,0 last but not least C: (x+2)² + (4y)² soll kleiner als 9 sein, das geht nur wenn (x+2)² selbst kleiner 9 ist, da (4y)² immer >=0 für reelle y wenn jetzt aber (x+2)² < 9 dann hab ich mit y=0 die Bedingungen erfüllt, dass x Element von C ist. also: C={x \| (x+2)² < 9} dann folgt durch Umformen: (x+2)² < 9 => \|x+2\| <3 => \|x\| <1 => -1 < x < 1 also hat C kein Maximum und Minimum, wohl aber Inf(C) = -1, Sup(C) = 1 so, und nu gute Nacht
27.10.2004, 06:56	ALT+F4	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank leider ist dir ein kleiner fehler unterlaufen bei B ist das Intervall ( (1/2), 2 ] der rest ist schonmal super und leider darf ich nur Körper bzw. Anordungsaxiome als Beweis nehmen und die Rechenregeln da da hervorgehen.
27.10.2004, 11:14	pumuckl	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann machen wir B nochmal ohne beim Beweis mit Ableitungen zu arbeiten ( aber um uns selbst die Minima erstmal zu suchen dürfen wirs ja klammheimlich einmal machen ) Ich weiß ja aus der Betrachtung, dass das Minimum bei x=1 liegt (Ableitung gleich null), deshalb teile ich die Menge etwas auf: $\begin{eqnarray} B = \{x+\frac{1}{x} \| x\in (0,5;1]\} \cup \{x+\frac{1}{x} \| x\in (1;2]\} \end{eqnarray}$ für x <= 1 setze ich y := 1/x und habe damit die erste Menge etwas anders darzustellen (die Grenzen des Intervalls ändern sich mit) $\begin{eqnarray} B = \{\frac{1}{y}+y \| y\in [1;2)\} \cup \{x+\frac{1}{x} \| x\in (1;2]\} =\{x+\frac{1}{x} \| x\in [1;2]\} \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich nur noch zeigen dass x+1/x > y + 1/y für x > y >=1 (dass also für den größten Wert von x auch der größte Wert von x+1/x angenommen wird, also dass das f aus der betrachtung streng monoton steigt) formen wir die Ungleichung um: x-y > 1/y-1/x \|xy xy(x-y) > x-y \| /(x-y) darf gemacht werden, da x-y > 0 xy > 1 stimmt, da xy > y² >= 1 Damit haben wir gezeigt, dass 2 +1/2 = 2,5 das Maximum ist und 1+1/1 = 2 das Minimum

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