Problem mit Exponentialfunktion und Logarithmen

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27.10.2004, 15:45

Shadow

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Problem mit Exponentialfunktion und Logarithmen

Hallo!

Brauche

Also im Unterricht haben wir nur mit leichte Zahlen gearbeitet, doch bei der schriftlichen Wiederholungen kamen dann so schwere Zahlen und keiner kannte sich aus, die Hälfte der Klasse war negativ traurig

, deshalb hoffe ich, dass ihr mir helfen könnt.

Hammer

Also 1. zu den Logarithmen log 144 zur basis 12 ist 2, das weiß ich im Kopf aber wie rechnet man so etwas aus. Wir haben in der Schule nur solche Sachen gemacht, zB

logx81 = 2, x= 9
log 125 zur Basis 5 = 3

Das konnte ich alles im Kopf, doch nun bei der Wiederholung kamen solche Zahlen:

logx256 = -2
log(6/7)x = -3
log (4/9) zur Basis (2/3) = x

Wie rechnet man die aus, also welche Rechenwege muss ich einschlagen?

Und nun zur Exponentialfunktion. Da kenn ich mich zwar super aus, rechnen und zeichnen ist da nicht schwer, doch dann kam so ne Theoriefrage, welche Eigenschaften sie besitzt und ich hab nur geschrieben, dass sie fällt (das stimmte auch, bekam auch ein Punkt dafür), doch andere, die es richtig haben, haben noch soetwas dazugeschrieben:

$\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R, a\in\mathbb R +\ {1} \end{eqnarray*}$
Was genau bedeutet das? verwirrt

Wäre schön wenn ihr das so schnell wie möglichst beantworten könnt.
Wäre euch sehr dankbar

Buschmann

27.10.2004, 15:58

Tobias

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Zum ersten Problem: Um einen logarithmus im Kopf zu rechnen fragt man sich: Hoch welche zahl muss ich die Basis nehmen, um das Argument des Logarithmus zu erhalten. Das folgt aus dieser Umformung:

$\begin{eqnarray*} \log_b(x) = y \iff b^y = x \end{eqnarray*}$

Also schaust du "intuitiv", wieviel mal man b mit sich selbst multiplizieren muss, um x zu erhalten. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \log_{12}(144) \end{eqnarray*}$
12^2 = 144. Also Ergebnis 2.

$\begin{eqnarray*} \log_{\frac{2}{3}}(\frac{4}{9}) \end{eqnarray*}$

Genauso: $\begin{eqnarray*} \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^3} = \frac{4}{9} \end{eqnarray*}$
Ergebnis ist wieder 2.

Also forme am besten erst um:

$\begin{eqnarray*} \log_x (256) = -2 \iff x^{-2} = 256 \iff \frac{1}{x^2} = 256 \iff x^2 = \frac{1}{256} \iff x = \frac{1}{\sqrt{256}} = \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$

Zum zweiten Teil fällt mir da eher weniger ein. Ich kenne das Konstrukt $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} + 1 \end{eqnarray*}$ garnicht?!?

27.10.2004, 16:23

kikira

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Das muss man nicht intuitiv machen.

Der Rechenweg geht so:

Wenn da steht:

$\begin{eqnarray*} log_{x}81 = 2 \end{eqnarray*}$

dann ist das x die Basis, die 81 ist das Endergebnis und die 2 ist die Hochzahl.

Dann formt man das in eine Gleichung um:

$\begin{eqnarray*} x^{2} = 81 \end{eqnarray*}$

Und nun gibt es 2 Methoden:

Entweder man schaut, ob man links und rechts die gleiche Hochzahl schaffen kann, denn dann kann man unten die Basen ablesen.

Oder man schaut, dass man links und rechts die gleiche Basis schafft, denn dann kann man die Hochzahlen ablesen.

$\begin{eqnarray*} x^{2} = 9^{2} \end{eqnarray*}$

da die Hochzahlen nun gleich sind, kann man die Basis ablesen - > x = 9

oder:
$\begin{eqnarray*} log_{\frac {2}{3}}\frac{9}{4} = x \end{eqnarray*}$

bedeutet:

$\begin{eqnarray*} [\frac{2}{3})^{x} = \frac{9}{4} \end{eqnarray*}$

hier versucht man nun, links und rechts die gleiche Basis zu schaffen:

$\begin{eqnarray*} (\frac{2}{3})^{x}= \frac{3^{2}}{2^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{2}{3})^{x}= \frac{2^{-2}}{3^{-2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{2}{3})^{x}=(\frac{2}{3})^{-2} \end{eqnarray*}$

Und nun steht links und rechts die gleiche Basis und man kann ablesen:

x = - 2

So funktioniert das immer. Voraussetzung dafür ist, dass man alles über Potenzen und Wurzeln weiß, wie man umformt und man braucht auch ein Gefühl für Zahlen ( das man nur bekommt, wenn man ohne TR rechnet), damit man gleich sieht, dass z.b. 256 --> 2^8 ist.

Hoff, ich hab dir helfen können...
lg
kiki

27.10.2004, 18:39

Akerbos

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wenn du einen Taschenrechner hast (vermutlich nicht?), wird es ganz easy:

lg<sub>12</sub>144 = log144 / log12 = ln144 / ln12

log ist immer der Logarithmus zur Basis 10, ln zur Basis e.

Ansonsten bleiben dir nur die "Knobel"wege, die schon genannt wurden.

27.10.2004, 19:21

Shadow

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Ja danke an alle.
Also das mit die Logarithmen hab ich jetzt auch verstanden.

Weiß jetzt einer was diese Angabe bei der Exponentialfunktion heißt?
Wie man das ganze rechnet, zeichnet, etc. weiß ich eh, nur diese unnötige Formel die man eigentlich gar nicht braucht versteh ich nicht.

27.10.2004, 21:53

kikira

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x € R bedeutet..dass man für x alle reellen Zahlen (R) einsetzen kann.
Die reellen Zahlen sind alle Zahlen, die du kennst...also Brüche, Minus, Pluszahlen, Kommazahlen, Wurzeln, die Zahl pi...die Zahl e...alle, die du kennst.

und a € R+

bedeutet: dass du für a nur reelle Pluszahlen einsetzen darfst.

Sowas nennt man Definitionsmenge. Du musst untersuchen, ob es vielleicht irgendwelche Zahlen gibt, die man für x oder für a nicht einsetzen darf. Wenn ich z.b. die Funktion habe: f(x) = 1/x

dann darf man für x alle Zahlen einsetzen, nur nicht 0...denn 1/0 ist kann man nicht berechnen. Im Nenner darf nie 0 stehen.
Daher müsstest du schreiben: x € R \ {0}

\ = ohne

Und wenn da steht, dass man für a nur die positiven reellen Zahlen einsetzen darf, dann würdest du nix berechnen können, wenn du für a z.b. -3 einsetzt.

kiki

04.11.2004, 19:56

Shadow

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Okay danke, ich habs nun verstanden Freude

Die Schularbeit rückt jetzt immer näher und ich muss jetzt mehr lernen und hab da gleich mal eine Frage zu einem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 9^{x+3} = \frac{1}{27} \end{eqnarray*}$

So weit bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} 9^{x+3} = 27^{-1} \end{eqnarray*}$

dann muss ich beide auf die selbe Zahl bringen.
Mit 9 hoch 1,50 würde ich auf 27 kommen, aber wie komme ich auf diese Zahl? Ich hab mit dem taschenrechner rumprobiert, immer eine Zahl mit 1,xx eingegeben bis ich auf 1,50 gekommen bin aber wie komme ich mit einer einfachen Rechnung dort hin? verwirrt

04.11.2004, 20:12

kikira

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Wie bist du von 1/7 auf 27 gekommen?

Das geht ja gar nicht...

Also..das Prinzip ist folgendes:

1. man schaut, ob man aus den beiden Zahlen eine gleiche Basis machen kann......aber 9 und 7 kann man nicht in eine Basis verwandeln.

Nun schaut man, ob man die gleiche Hochzahl schaffen kann. Aber das geht hier auch nicht...weil die eine Hochzahl ist x+3 und die andere ist 1...

Wenn man das abgeklärt hat, und die oberen 2 Dinge nicht angewendet werden können, dann muss man die Gleichung unter log setzen.

Denn sobald man eine unbekannte Hochzahl hat, bekommt man die nur runter, wenn man die Gleichung unter log (oder ln) setzt.
Dazu muss man aber die log-Gesetze können.

9^(x + 3) = 1/7 | log

log9^(x+3) = log(1/7) | nun Loggesetze anwenden

(x + 3) * log9 = log1 - log7 | log1 = 0

x*log9 + 3* log9 = - log7
x*log9 = -log7 - 3log9
x = (-log7 - 3log9)/ log9

das dann in den TR eingeben, dann weißt du, was man für x rauskriegt.

x = -3,885622

Zur Probe kannst zurückeinsetzen und sieht, dass 1/7 rauskommt.

lg kiki

04.11.2004, 20:19

kikira

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Noch was:

wenn du schon die Zahlen 9 und 27 irgendwo hast, dann darfst du nicht versuchen, die 9 in 27 zu verwandeln...

sondern du musst schauen, ob die größere Zahl eine Potenzzahl der kleineren ist.

27 = 9 hoch ?

Leider braucht man da ein Gefühl für Zahlen, das man nur dann kriegt, wenn man schon lang ohne TR rechnet. Aber du wirst noch sehen, dass einem das Taschenrechner rechnen in den höheren Klassen zum Verhängnis wird....weil man dann nämlich nicht mal mehr die einfachsten Brüche kürzen kann....naja..

27 = 3³
9 = 3²

daher hättest du beide Zahlen in die Basis 3 verwandeln müssen.......aber wie gesagt..sowas sieht man nur, wenn man viel Kopf rechnet und nicht jeden Quatsch in den TR eintippt.
Dieses Gefühl für Zahlen brauchst du bei dem Kapitel Lograithmus leider!
Kleiner Tipp: Fang sofort an, den TR wegzulassen und rechne mit dem Kopf.

lg kiki

05.11.2004, 11:35

Shadow

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Zitat:

Original von kikira
Wie bist du von 1/7 auf 27 gekommen?

So besser?
Hab mich verschrieben ...

Mit kikiras Erklärung bzw. Information habe ich es kapiert.
Ich soll also beide auf 3 hoch irgendwas bringen.

http://www.hentai-motion.com/images/smilies/danke.gif (an beide)

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