Additions- und Multiplikationstabelle

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lunatica Auf diesen Beitrag antworten »
Additions- und Multiplikationstabelle
Hallo,
ich habe eine Aufgabe, die wie folgt lautet:
"Geben Sie die Additions- und Multiplikationstabelle eines Körpers mit 2 ELementen an und überprfen Sie die Körperaxiome."

Ich verstehe nicht ganz, was ich da jetzt machen soll. Kann mir vielleicht jemand beim Verständnis der Aufgabe helfen?? verwirrt
pumuckl Auf diesen Beitrag antworten »

naja, du sollst eine additionstabelle anlegen, also sollst angeben, was rauskommt, wenn du zwei Elemente addierst

also für deinen zweielementigen Körper (welche beiden sind das wohl?) steht dann da ne Tabelle der Form
code:
1:
2:
3:
4:
+ | a | b 
----------
a |   |  
b |   |  


(bitte selbst ausfüllen Augenzwinkern )
Dann noch das gleiche für die Multiplikation
 
 
lunatica Auf diesen Beitrag antworten »

dann steht da a+a und a+b etc.... super... so in der art habe ich mir das gedacht... aber wie soll ich da was mit körperaxiomen prüfen??
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jeder Körper hat eine Null (0) und eine Eins (1). Dein Körper hat nur zwei Elemente. Was folgt daraus?
lunatica Auf diesen Beitrag antworten »

also hätt ich dann da stehen:

0 1

1 2


so langsam leuchtet was bei mir auf ... aber wie ich die k.a. daran überpfrüfen soll, weiß ich trotzdem nicht so genau. das sieht dann wie aus?

für x+y=y+x könnt man da ja leicht überprüfen, weil dort in der tabelle jeweils 1 steht.... so richtig? nur ich weiß nicht, wie ich das bei den meisten anderen hinbekommen soll.
pumuckl Auf diesen Beitrag antworten »

2? was ist 2??? gibts nich in deinem körper... *fg*
lunatica Auf diesen Beitrag antworten »

super... und wie muss das dann ausehen? ich hab echt keinen plan traurig
pumuckl Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, du musst die diesen einen Punkt eben so zurechtlegen, dass die Körperaxiome erfüllt sind. Du hast nur zwei Möglichkeiten, die du dort eintragen kannst. Wenn du die Gleichnungen 1+1 = 1 und 1+1 = 0 mal nimmst und etwas erweiterst, kommst du von selbst drauf, welche von beiden richtig sein muss...
lunatica Auf diesen Beitrag antworten »

also ich seh da nur zwei möglichkeiten: bei 1+1=1 kann nur ergeben wenn, die zweite 1 ein neutrales element ist... wie haben aber bewiesen, dass es nur ein neutrales element gibt ... also 0 .... bei 1+1=0 müsste gelten, dass 1 das inverse element zu 1 ist .... find ich allerdings auch total unlogisch.... sorry.... vielleicht bin ich zu blöd dazu, aber ich check das nicht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lunatica
.... bei 1+1=0 müsste gelten, dass 1 das inverse element zu 1 ist .... find ich allerdings auch total unlogisch....


Sicher ist das etwas gewöhnungsbedürftig, aber was spricht dagegen (von den Körperaxiomen her betrachtet)?

In den reellen Zahlen gilt ja auch (-1)·(-1)=1, d.h. -1 ist bezüglich der Multiplikation sein eigenes Inverses. Stört dich das hier?
lunatica Auf diesen Beitrag antworten »

ok, in den körperaxiomen steht, dass es ein inverses element gibt, wie das aussieht, steht da nicht... allerdings haben wir auch danach gesagt, dass es nur eins gibt, also nicht mehrere ... und ich dachte das inverse element zu 1 wäre immer -1 .... und da-1 nicht im körper ist, sage ich jetzt einfach, dass 1 das inverse element ist?
und bei der multiplikation stört mich das nicht, weil ich die -1 in diesem fall auch herleiten kann... aber das 1+1=0 ist, kann ich nicht so einfach aus den körperaxiomen oder sonst wie herleiten.

ich möchte gar nicht wissen, wie ich dann den teil b) der aufgabe lösen soll: "Gibt es einen Körper mit 4 Elementen?" ..... unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In unserem Körper K={0,1} gilt eben -1=1.
Du darfst in der abstrakten Algebra das Minuszeichen nicht als etwas auffassen, was aus einer Zahl etwas Neues schafft, sondern nur als Zeichen für "das Inverse von", ähnlich wie bei einer reellen Variablen -x ja auch nicht bedeutet, daß -x negativ ist, sondern "die Gegenzahl von x".

"-1" heißt also einfach nur "das Inverse von 1 (bezüglich der Addition)".
lunatica Auf diesen Beitrag antworten »

ooooookay, das ist wirklich alles etwas gewöhnungsbedürftig. aber vielen dank, dass ihr mir geholfen habt!!! ich denke, ich bin jetzt schon etwas schlauer als vorher. Freude
nur noch eins: nen körper mit 4 elementen muss es doch genauso gut geben, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In der höheren Algebra zeigt man, daß es zu jeder Primzahlpotenz einen Körper mit Elementen gibt. Er ist bis auf Umbenennung der Elemente eindeutig bestimmt.

Es gibt also Körper mit
2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,17,19,23,25,27,29,31,32,...
Elementen.

Leider habe ich jetzt keine Zeit mehr, mich mit dir darüber zu unterhalten. Aber vielleicht übernimmt jemand anders.

Im übrigen heißen diese Körper Galois-Felder. Vielleicht findest du hier im Board unter SUCHEN oder bei Google etwas darüber.
lunatica Auf diesen Beitrag antworten »

hey, vielen dank!!! find ich echt nett, dass du so viel zeit investiert hast!! smile ich werde mal schauen, wie weit ich damit komme. habe noch ein paar tage zeit, um die aufgaben zu lösen. zur not melde ich mich dann noch mal!!
Schönen Abend! Wink
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