Stichprobe mit Messfehlern

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19.03.2007, 13:30	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichprobe mit Messfehlern Hallo an alle, ich habe eine Stichprobe einer normalverteilten Zufallsvariable und muss die Parameter $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ schaetzen. Leider sind die Werte der Stichprobe mit einem Messfehler behaftet. Dieser ist auch normalverteilt, einzige Angabe: mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ist $\begin{eqnarray} -1 <= Messfehler <= 1 \end{eqnarray}$ . Wie kann ich die Werte meiner Stichprobe von dem Messfehler bereinigen bzw. wie kann ich trotzdem meine Parameter ausrechnen ? Danke fuer Hilfe. xooops.
19.03.2007, 15:49	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stichprobe mit Messfehlern Hallo! Kurze Frage, Praxisproblem oder Uniproblem? Dieses begneget mir nämlich immer in der Praxis, aber nie in der Uni... Seien $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ deine wahren Werte (Stichprobe) und $\begin{eqnarray} X' \end{eqnarray}$ deine gemessen Werte (Beobachtungen), dann ergibt sich $\begin{eqnarray} X=X'+\varepsilon \end{eqnarray}$ . Du kennst die Verteilung von $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ (der Erwartungswert sollte null sein, sonst hast du nicht nur einen Messfehler, sondern einen systematischen Fehler!) und du kennst die Rechenregeln für Erwartungswerte und Varianzen von Summen normalverteilter Zufallsvariablen...?
23.03.2007, 06:14	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stichprobe mit Messfehlern Du hast es richtig erkannt: Praxisproblem. Der Erwartungswert von $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ist bei mir auch tatsaechlich 0, also habe ich einen Messfehler und keinen systematischen Fehler. Deine Frage: Ja, ich kenne die Rechenregeln !! Meine beobachteten (gemessenen) Werte $\begin{eqnarray} X' \end{eqnarray}$ und mein Messfehler $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ sind zwei normalverteilte, stochastisch unabhaengige Zufallsvariablen, somit ist auch die Summe bzw. hier genauer die Differenz $\begin{eqnarray} X=X'-\varepsilon \end{eqnarray}$ normalverteilt, und es gilt $\begin{eqnarray} \mu_X = \mu_{X'}-\mu{\varepsilon} = \mu_{X'}-0 = \mu_{X'} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \sigma_{X}^2 = \sigma_{X'}^2 + \sigma_{\varepsilon}^2 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \mu_{X'} \end{eqnarray}$ schaetze ich mit dem Stichprobenmittel. $\begin{eqnarray} \sigma_{X'}^2 \end{eqnarray}$ schaetze ich mit der Stichprobenvarianz $\begin{eqnarray} s^{2} \end{eqnarray}$ . Aber wie bekomme ich $\begin{eqnarray} \sigma_{\varepsilon}^2 \end{eqnarray}$ , also die Varianz des Messfehlers ? Das einzige, was ich weiss, ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(-1 \leq x_{\varepsilon} \leq 1) = 0,95 \end{eqnarray}$ . Gibt es da Tabellen ?
23.03.2007, 08:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du von $\begin{eqnarray} X_{\varepsilon}\sim\mathcal{N}(\mu_{\varepsilon},\sigma_{\varepsilon}^2) \end{eqnarray}$ ausgehst - wie von Zahlenschubser gesagt vernünftigerweise mit der Annahme "kein systematischer Fehler", also $\begin{eqnarray} \mu_{\varepsilon}=0 \end{eqnarray}$ - dann kannst du die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(-1 \leq X_{\varepsilon} \leq 1) \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \sigma_{\varepsilon} \end{eqnarray}$ ausdrücken, mit den üblichen Rechenregeln für Intervallwahrscheinlichkeiten von normalverteilten Zufallsgrößen. Das dann gleich $\begin{eqnarray} 0.95 \end{eqnarray}$ setzen und nach $\begin{eqnarray} \sigma_{\varepsilon} \end{eqnarray}$ auflösen, fertig.
23.03.2007, 12:07	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie druecke ich denn $\begin{eqnarray} P(-1 \leq X_{\varepsilon} \leq 1) \end{eqnarray}$ in Abhaengigkeit von $\begin{eqnarray} \sigma_{\varepsilon} \end{eqnarray}$ aus ? Sorry fuer die Frage, aber vielleicht stehe ich grad auf dem Schlauch.
23.03.2007, 14:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du denn wirklich noch nie mit Normalverteilung gerechnet? Wenn $\begin{eqnarray} X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ , dann gilt mit deren Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_X \end{eqnarray}$ bzw. der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ der Standardnormalverteilung $\begin{eqnarray} P(X\leq b) = F_X(b) = \Phi\left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray}$ , sowie für Intervallwahrscheinlichkeiten wie im vorliegenden Fall $\begin{eqnarray} P(a\leq X\leq b) = F_X(b)-F_X(a) = \Phi\left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{a-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray}$ Und jetzt aber mal etwas Eigeninitiative!
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27.03.2007, 12:19	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, mein Messfehler $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} N(0, \sigma^2) \end{eqnarray}$ -verteilt, also setze ich $\begin{eqnarray} 0,95 = P(-1 \leq X \leq 1) = \Phi\left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{a-\mu}{\sigma} \right) = \Phi\left( \frac{1-0}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{-1-0}{\sigma} \right) = \Phi\left( \frac{1}{\sigma} \right) - \Phi\left(- \frac{1}{\sigma} \right) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung $\begin{eqnarray} N(0,1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Phi(x) = \frac {1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2} \cdot t^2} \mathrm{d}t \end{eqnarray}$ ist. Wie aber loese ich das jetzt nach $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ auf ??? Das geht doch nur ueber Tabellen, oder ? Stichwort Quantile ?
28.03.2007, 12:25	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: Symmetrie! 1 und -1 sind symmetrisch zu 0. Also ist im Speziellen, $\begin{eqnarray} 0,95=0,975-0,025 \end{eqnarray}$ . Welchen deiner beiden Summanden du auflöst sei dir überlassen...
30.03.2007, 14:26	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich lese aus der Tabelle das Quantil fuer die Standardnormalverteilung ab: $\begin{eqnarray} z_{0,975} = -z_{0,025} = 1,960 \end{eqnarray}$ und erhalte dann $\begin{eqnarray} \frac {1}{\sigma} = 1,96 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \sigma=0,5102 \end{eqnarray}$ . Ist das so richtig ? Oder was meinst du mit Auflösen ???
31.03.2007, 19:30	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau. Kannst du ja einfach durch Einsetzen jetzt nachweisen, dass dein Wert richtig ist.
02.04.2007, 14:33	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
Toll, danke. Damit habe ich endlich die Varianz meines Messfehlers. Um jetzt die Varianz der wahren (messfehlerbereinigten) Werte auszurechnen, habe ich noch ein Verstaendnisproblem: Wenn $\begin{eqnarray} X' \end{eqnarray}$ meine beobachteten (gemessenen) Werte sind, $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ der Messfehler und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die wahren (messfehlerbereinigten) Werte, was gilt dann: $\begin{eqnarray} X = X' - \varepsilon \end{eqnarray}$ oder nicht eher: $\begin{eqnarray} X' = X + \varepsilon \end{eqnarray}$ ??? Gleichungstechnisch sieht beides gleich aus, aber es handelt sich hierbei ja nicht um Gleichungen, sondern um die Summe (bzw. Differenz) von normalverteilten Zufallsvariablen. Und je nach dem, welche von den beiden Summen man oben nimmt, ergibt sich eine andere Varianz fuer $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ !!! Welche von beiden ist richtig ? Intuitiv denke ich, die zweite. Stimmt das ?
03.04.2007, 15:47	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt. Die Varianzen der echten Werte und des Messfehlers überlagern sich in deinen beobachteten Werten. Ich sehe gerade, ich hatte es in meinem ersten Thread auch falsch notiert. Man sollte nicht nur Apostrophe verwenden, sondern die ganze Zufallsvariable neu benennen...
04.04.2007, 11:15	xooops	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das hatte mich auch irritiert. Aber jetzt habe ich endlich alles zusammen. Nochmals danke fuer die Hilfe.
04.04.2007, 14:18	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne wieder... Freut mich, wenn man helfen kann...

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