Zahlentheorie

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Zahlentheorie
Hallo erstmal!

Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:

Wieviele ganze Zahlen n mit existieren?

Ich habe dies umgeformt:





Leider weiß ich jetzt nicht mehr weiter. Kann mir bitte jemand helfen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast vollkommen richtig angefangen, bevor dich dann leider der Mut verlassen hast. Also: Ein Exponent muss alle drei Bedingungen erfüllen, damit die Anfangskongruenz erfüllt ist.

Fangen wir mit der einfachsten Teilkongruenz an, der zweiten: Die ist wegen offensichtlich für alle erfüllt, ist also im eigentlichen Sinn keine Einschränkung.

Zur ersten, umgeformt . Nach dem kleinen Fermat gilt ja , allerdings kann es auch schon für kleinere Exponenten passieren, insbesondere sind da die Teiler von 10 zu untersuchen, als da wären 2 und 5.

scheidet aus, ebenfalls. Also ist tatsächlich die kleinste positive Lösung von , und alle anderen Lösungen wie z.B. müssen Vielfache davon sein.

Beim dritten verhält es sich so ähnlich, also , nur dass man hier bei einem viel kleineren für fündig wird. Augenzwinkern


EDIT: Rechtschreibfehler...
 
 
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Ach so, Danke für den Tip!

Bei gilt dies schon für d = 4 und deren Vielfachen.

Stimmt es dann, dass laut chin. Restsatz 18*180*45 Lösungen ganzer Zahlen existieren?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn darauf?

Hier geht es doch konkret um die Lösungen innerhalb des Intervalls , und das können ja wohl maximal 180 sein. Augenzwinkern
frustriert Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, ja klar. Hatte für jede Kongruenz Lösungen bestimmt und dann zusammengesetzt.

Dann können es aber somit nur 180 Lösungen sein, oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Für ein konkretes gibt es doch nur die Möglichkeiten "Ist Lösung" oder "Ist keine Lösung" - insofern verstehe ich dich nicht so recht... verwirrt

Zurück zum Problem, wo wir gerade stehen geblieben waren:

hat die Lösungen , und entsprechend . Was ist dann die gemeinsame Lösung?
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Kann sein, dass ich gerade auf der Leitung stehe...

Es heisst doch aber in der Aufgabenstellung "wieviele ganze Zahlen n existieren"

Ist gemeinsame Lösung n = k*21?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, sondern , das ist was anderes. Jetzt musst du nur noch zählen, wieviele dieser Zahlen im Intervall liegen.
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Danke! Das müssten dann 8 Zahlen sein!

Schönen Abend noch!
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