Vollstädnige Induktion

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Suicide-Smurf Auf diesen Beitrag antworten »
Vollstädnige Induktion
Hi

kann mir einer bei der Vollständigen Induktion helfen? Am besten noch mit Kommentaren wieso man das machen muss usw...
wäre echt supi



man beweise mit vollständiger induktion, dass für alle natürlichen zahlen n gilt

n
_
\
/_k³= ( [n(n+1)]/[2] )^2
k=1


((die striche sollen ein summenzeichen darstellen *g*)


Induktionsanfang
n=1


1^3=1     [(1*2)/2]^2=1

n=2
2^3=8     [(2*3)/2]^2=9

n=3
3^3=27     [(3*4)]/2]^2=36



Wie mach ich den Induktionssschluss und z.b für n=2 kommt 9 raus...muss ich da nich noch das vorherige glied hier n=1 abziehen..?


sorry für meine dummheit :-(

vielen dank für hilfe
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

den induktionsanfang hast du ja schon gemacht. für 1 und n=2 ist die formel richtig.
IS: (in der einfachsten Form) angenommen dieReihe sei usw. dann muss gelten:

( [n(n+1)]/[2] )^2 + (n+1)^3 = ( [(n+1)(n+2)]/[2] )^2
Ich habe beide Polynome einfach am PC ausgewertet.
Kommt auf Beiden Seiten 1/4*n^4+3/2*n^3+13/4*n^2+3*n+1 raus und ist damit bewiesen.
Mathefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Suicide-Smurf (mein Gott, welch Name *g*),

Aufgabe: Man beweise, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:

A(n): Sum(k = 1,n) k³ = [ n(n+1)/2 ]²

Ich will versuchen die Schritte so zugestalten, dass auch andere Induktionsaufgaben nach diesem Muster gelöst werden können.

Induktionsverankerung:
===============

Sei n = 1 => Sum(k = 1,1) k³ = 1³ = 1 = [ 1*2/2 ]² = 1² = 1
=> wahre Aussage

Induktionsschritt:
===========

In Annahme, dass A(n) gilt, folgern für aus dieser Wahrheit für den Nachfolger n+1: A(n) --> A(n+1). Wir dürfen hierbei die Induktionsbehauptung A(n) verwenden (das ist ja die Logik der voll. Induktion).
Es soll also gelten:

Sum(k = 1,n+1) k³ = [ (n+1)(n+2)/2 ]² (*)

Linke Seite können wir zerlegen in:

[Sum(k = 1,n) k³] + (n+1)³ = [ (n+1)(n+2)/2 ]²

Anwenden der Induktionsbehauptung liefert für die linke Seite

[ n(n+1)/2 ]² + (n+1)³ = 1/4[ n²(n+1)² + 4(n+1)³ ] = 1/4 * (n+1)²(n² + 4(n+1)) = 1/4 * (n+1)² * (n² + 4n + 4) = 1/4 * (n+1)² * (n+2)² = [(n+1)(n+2)/2]² => Dies entspricht der rechten Seite von (*) und somit ist gezeigt, dass wenn A(n) gilt auch A(n+1) gilt. Da A(n) für n > 0 gilt, dass auch A(1) gelten muss. Da aber nun A(1) gilt, muss auch A(2) gelten usw.

Insgesamt ist damit die Behauptung als richtig nachgewiesen!
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein allgemeiner Tip anhand ders Beweises von

1²-2²+3²-4²+....+(-1)^(n-1)*n²
=(-1)^(n-1)*n/2*(n+1)

Ich addiere auf beiden Seiten das (n+1)te Glied, lasse genügend Platz und schreibe hinter das gleichheitszeichen in der letzten Zeile das komplette (n+1) - Ergebnis.

12-2²+3²-4²+....+(-1)^(n-1)*n² +(-1)^n*(n+1)²
=(-1)^(n-1)*n/2*(n+1)+(-1)^n*(n+1)²
=...
=...
=...
=...
=...
=(-1)^(n)*((n+1)/2)*(n+2)
Dann versuche ich mich mit Umformungen von oben und unten gleichzeitig an eine gemeinsame Zeile irgendwo in der Mitte heranzuarbeiten.
gruss Johko
Suicide-Smurf Auf diesen Beitrag antworten »

super ihr seid spitze! danke :-))

werd mich gleich nacher mal hinsetzen und versuchen das ganze nachzuvollziehen...


Gruss smile
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